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Fünftes Buch. Stereometrie.

Beweis. Die zu vergleichenden Prismen und - werden dmrchDiagonalparallelogramme in dreiseitige Prismen von gleichen Höhenzerlegt, zu deren Basen z. B. die Dreiecke ASO und US^O" gehören.Die Gerade SO wird von der Geraden -40" in S geschnitten. Auf

der Basis ASS construire man sowohldas Prisma, dessen Kanten mit den Kan-ten des auf ASO stehenden Prisma dieRichtung und Länge U« gemein haben,als auch das Prisma, dessen Kanten mitden Kanten des auf AS^O" stehemdenPrisma die Richtung und Länge A«' ge-mein haben; diese Prismen, welche dmrchUSD« und USSc? bezeichnet werben,sind gleich an Volum (2, Anm.).

Um zunächst das Verhältniß der Volume der Prismen ASO« undUSD« zu finden, legt man durch die Kante A« Diagonalparallelogrammevon beliebiger Anzahl, deren je zwei folgende auf der Geraden SOgleiche Theile, folglich auf der Basis ASO gleiche Dreiecke, und vondem Prisma ASO« gleiche Prismen (2, Anm.) abschneiden. Dahersind die Verhältnisse SO: SS, USO: USS, USOa: USS« gleich,indem sie entweder denselben rationalen Werth haben oder zwischendenselben beliebig nahen Grenzen liegen (Algebra tz. I , 2). Aus derProportion ASO« : USD« — ASO: ASS und den auf gleiche Weisesich ergebenden Proportionen USD-/ : US^Sc? — USS : USO-,AL"S-/ : US'O"«' --- US"S : US'O', in denen ASSll' und uss«nicht verschieden sind, schließt man durch Multiplikation ASO«:US'OV----- ULO: US^OO

Bestehn nun die Prismen und ^ aus den dreiseitigen Prismen/-i, - - und - 1 , ihre Basen a und S aus den Dreiecken

» 2 , . . und Sj, Sz, - so hat man

51 : Si ^ «i ' ^

5 2 : Si ^ «2

also durch Addition ^ — a : z>i

Si 5,

^ Sz

also durch Addition § : — ö : a.

Anmerkung. Wenn zwei Prismen gleiche Höhen haben, so istihre Summe oder Differenz einem Prisma von derselben Höhe gleich,dessen Basis die Summe oder Differenz der Basen der gegebenenPrismen ist.

bi, u. s. f.

Endlich ist: «

! K, u. s. f.