z. 8. Cubatur der Prismen und Pyramiden. 227

4 . Wenn zwei Prismen (Cylinder) gleiche Basen haben, so istdas Verhältniß ihrer Volume dem Verhältniß ihrer Höhen gleich. Lud.XI, 25.

Beweis. Nachdem man die Basen der Prismen auf eine Ebenegelegt hat, construirt man Ebenen in beliebiger Anzahl parallel mit derEbene der Basen, deren je zwei folgende von den Höhen der Prismengleiche Theile, folglich von den Prismen gleiche Prismen abschneiden,weil alle Theile der Prismen außer den gleichen Höhen gleiche Basenbesitzen (3). Nun erhalten das Verhältniß der Höhen und das Ver-hältniß der Volume der Prismen entweder denselben rationalen Werth,oder sie werden beide zwischen denselben beliebig nahen Grenzen gefun-den, also sind sie gleich.

5. Das Verhältniß der Volume von zwei Prismen (Cylindern)! ist das Product der Verhältnisse ihrer Basen und ihrer Höhen.

! Beweis. Die Prismen und haben die Basen ö und S',

und die Höhen /r und L'. Man construire ein Prisma 7 auf der

Basis mit der Höhe H. Dann hat man

F> : — d : ö' (3), 2 : ^ ^ : ü' (4)

folglich durch Multiplication (Algebra ß. 1 , 3)

-> : -- (ö : L-) (H : ^).

Anmerkung. Wenn die Verhältnisse der Basen und der Höhenvon zwei Prismen reciprok sind, so haben die Prismen gleiche Volume.Lud. XI, 34.

Das Volum eines Körpers wird durch sein Verhältniß zurVolumeinheit angegeben. Als Volumeinheit wird gewöhnlich eine

Cubikeinheit gebraucht, d. h. ein Cubus, dessen Kanten Längenein-heiten und dessen Flächen demnach Quadrateinheiten sind. Denn einCubus ist durch eine Kante bestimmt, und gehört zu den Prismen, de-ren Volum-Verhältnisse nach (5) gefunden werden. Die Angabe desVolums eines Körpers heißt deshalb die Cubatur desselben.

Wenn man abkürzend Größe für ihr Verhältniß zur Einheit sagt(Vergl. Planim. ß. 10, 4), also Höhe für ihr Verhältniß zur Längen-einheit, Basis für ihr Verhältniß zur Quadrateinheit, Körper für seinVerhältniß zur Cubikeinheit, so hat man (5)

Prisma — Basis x Höhe.

Parallelepiped — Länge x Breite x Höhe.

Cubus -- (Kante?.

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