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Fünftes Buch. Stereometrie.

Wenn man durch die. Endpuucte einer Längenka.nteeines Prisma Normalschnitte construirt, so erhält rmanzwischen denselben ein Prisma, welches mit dem gegebe-nen Prisma von gleichem Volum ist (1). Daher istauch

Prisma — Normalschnitt x Längenkante,folglich durch Vergleichung beider CubaturenNormalschnitt-Basis —Höhe: Länge »kanten*)

7 . Ein Körper von beliebiger Oberfläche werde durch paralleleEbenen von beliebiger Stellung und Anzahl in Schichten von gleicherHöhe zerschnitten. Man construire in den einzelnen Schichten Prisimen,indem man durch parallele Gerade jeden Querschnitt des Körpers aufdie Ebene des folgenden Querschnitts projicirt. Die Differenz zwischender Summe dieser Prismen und dem gegebenen Körper verschwindet,wenn die Anzahl der parallelen Ebenen unendlich wird.**)

Beweis. Der Abstand der ersten und der letzten Ebene werdedurch die übrigen parallelen Ebenen in n gleiche Theile S getheilt, sodaß ö verschwindet, wenn n unendlich wird. Die Zone der zwischenzwei folgenden Querschnitten », enthaltenen Körperschicht werde durchparallele Gerade auf die Ebene r? projicirt: die Projection der Zoneist ein Ring, dessen Breite überall verschwindet, wenn die Höhe ö ver-schwindet. Gewisse Projicirende der Zone bilden ein Prisma (Cylin-der), das von der Körperschicht ganz eingeschlossen wird, andre bildenein Prisma, von dem die Körperschicht ganz eingeschlossen wird, so daßdie Basis n der Körperschicht nicht kleiner ist als die Basis des innernPrisma und nicht größer als die Basis des äußern Prisma. Die Dif-ferenz zwischen der Schicht des Körpers und dem in derselben Schichtdie Basis n projicirenden Prisma ist kleiner als die Differenz zwischendem äußern und innern Prisma d. i. kleiner als ein Prisma, das dieProjection der Zone zur Basis hat. Daher ist die Summe der Dif-ferenzen zwischen den einzelnen Körperschichteu und den in denselbenconstruirten Prismen kleiner als ein Prisma von der Höhe ö, dessen

*- Bergt, unten Trigon. K. 6, 2.

**) Es war den Geometern des Alterthums geläufig, eine Fläche durch Summenvon Parallelogrammen, einen Körper durch Summen von Prismen zn begrenzen.Die hieraus fließende Berechtigung, eine Fläche oder einen Körper als Summe vonunendlich vielen unendlich schmalen Parallelogrammen oder Prismen zu betrachten,ist im Uten Jahrhundert durch Keppler (Liersomelrin äolioruin 1815), Cava-lieri (Oeometris, inäivisibilibns eonbinnoruin proinotn 1835. Vergl. Klügelmach. W. I. x. 416), Fermat n. A. mehr und mehr anerkannt worden, und hatbei der Erfindung der Analysis des Unendlichen den angemessenen Ausdruck erhalten.