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Fünftes Buch. Stereometrie.

unterscheiden sich aber die Summen der Prismen nicht von den Kör-pern (7).

S. Wenn zwei Pyramiden (Kegel) gleiche Höhen haben, so ist dasVerhältniß ihrer Volume dem Verhältniß ihrer Basen gleich. Luol.XII, 5.*)

Beweis.

§

Die Pyramide ASM, deren Höhe <2S, wird durcheine mit der Basis parallele Ebene geschnitten, derenAbstand von der Spitze SS. Der Querschnitt OLList der Basis ASO ähnlich (tz. 5, 1), also hat manOLL : AS<7 ---'(OL: AS)2 „ (OS : ^

(SS: <2S)2. Bei der zweiten Pyramide, deren ent-sprechende Stücke durch dieselben accentuirten Buch-staben bezeichnet werden, hat man ebenso

O'LL : A'S'6" -- (S'S^ <2'S')2.

Wenn nun <2S---<BS', SS--S'S', so ist OLL:AS6--O'LL:A'S^oder OLL : O'LL -- ASL : A'S'O', folglich (8) das Verhältniß derPyramiden — ASL : A'S'L^.

Itt. Eine Pyramide (Kegel) ist der dritte Theil eines Prisma(Cylinder), das mit ihr gleiche Basis und gleiche Höhe hat,**) sodaß (6)

Pyramide ^Basis X Höhe.

Beweis. Das dreiseitige Prisma ASMLL wird durch die Dia-gonaldreiecke AM und AOL in die dreiseitigen Pyramiden ASM,ALOO und AOLS zerlegt. Nun ist die PyramideASM sowohl der Pyramide ALOO, als auch derPyramide AOLS an Volum gleich, weil die ersteund zweite die gleichen Basen SM und LO6 undgleiche Höhen, die erste und dritte die gleichen BasenALL und OLL und gleiche Höhen haben (9). tilsoist die Pyramide ASM der dritte Theil des PrismaASMLL.

Daß eine mehrseitige Pyramide der dritte Theileines Prisma ist, welches mit ihr die Basis und die

*) Es ist auf keine Weise gelungen, zwei Pyramiden von gleichen Basen undHöhen so zu zerlegen, daß die Gleichheit der Volume aus der Congruenz der Deileersichtlich Ware.

**) Luol. XII, 7. Die Cnbatur der Pyramiden ist zuerst von Eudoxus, einemZeitgenossen Platos, vollbracht worden, wie Archimedes berichtet in der Einleiungdes ersten Buchs von der Kugel und dem Cylinder.