tz. 8. Tubatur der Prismen und Pyramiden.
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Höhe gemein hat, erkennt man durch Zerlegung der gegebenen Pyramidein dreiseitige Pyramiden.
11 . Das Verhältniß von zwei Pyramiden wird ebenso berechnet,wie das Verhältniß der dreimal so großen Prismen, welche mit ihnengleiche Basen und gleiche Höhen haben; man multiplicirt das Verhält-niß der Basen mit dem Verhältniß der Höhen (5).
Wenn die Pyramiden ähnlich sind (tz. 6, 17), so sind die Basenähnliche Planfiguren und die Höhen entsprechende Strecken. Das Ver-hältniß der Basen ist das Quadrat des Verhältnisses entsprechenderStrecken; also ist das Verhältniß der Volume von ähnlichen Pyramidender Cubus des Verhältnisses von entsprechenden Strecken. Duol. XII, 8.
Ueberhaupt ist das Verhältniß der Volume ähnlicher Körper derCubus des Verhältnisses entsprechender Strecken, weil ähnliche Körperaus Tetraedern, von denen die entsprechenden ähnlich sind, zusammen-gesetzt werden.
12 . Ein Tetraeder ist der dritte Theil des ihm so umgeschriebe-
nen Parallelepipeds (tz. 6,7), daß die gegenüberliegenden Kanten desTetraeders aus den gegenüberliegenden Flächen des Parallelepipeds lie-gen.*) Denn jede Fläche des Tetraeders schneidet von dem Parallel-epiped eine Pyramide ab, die den dritten Theil des halben Parallelepi-peds beträgt, z. B. ASO' 7 )' -- --- z^7)'S0"L'0A'D.
Das Dolum eines Tetraeders bleibt unverändert, so lange als vonzwei gegenüberliegenden Kanten die Längen, die Richtungen und derAbstand unverändert bleiben.
Der Abstand der gegenüberliegenden Kanten des Tetraeders AFund 07) ist die Höhe des Parallelepipeds,wenn man das Parallelogramm A7AL0"zur Basis nimmt. Nun ist der Mittel-schnitt des Tetraeders, dessen Ebene mit ASund 07) parallel ist und die zwischen ihnenenthaltene Schicht halbirt, halb so groß alsdas Parallelogramm A/ASO", weil dieHälfte von jenem und der vierte Theil vondiösem congruent sind. Also ist das Tetra-eder A des Products aus dem Abstand von zwei gegenüberliegendenKanten und dem mit ihnen parallelen Mittelschnitt des Tetraeders.**)
*) Menge Oorrssx. snr I'so. polz't. I p. 441.
**) Bergt, unten Trigon. K. 6, 17.