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Fünftes Buch. Stereometrie.

KA. Wenn zwei Tetraeder die Basis gemein ha-

ben, so wird die Strecke von der Ebene in Ä nach demVerhältniß der Tetraeder getheilt. Denn ist dem Verhält-

niß der Höhen der Tetraeder und dieses dem Verhältniß der Vol.umegleich.

Eine Kante des Tetraeders wird von der Ebene, die den gegen-überliegenden Flächenwinkel halbirt, nach dem Verhältniß der Flächengetheilt, welche den Flächenwinkel einschließen.*) Die Ebene, welche denFlächenwinkel halbirt, schneide die Kante in L/, dann hat

^ von den Ebenen und gleiche Abstände, währendund 6^ sich verhalten wie die Abstände der Puncte L und <7 von derEbene Daher ist

Ltts : ÜW -- : 0^6.

Wenn die Fläche von der Axe des Rotationskegels, welcherder gegenüberliegenden Ecke eingeschrieben ist? (Z. 5, 3), in 7V geschnitten wird, so ist

L07V: (L47V --- : LLV:

/ Denn die Dreiecke . . verhalten sich

wie die gleichhohen Tetraeder

^ ^ während 7V von den Flächen L6S,

6-4D gleiche Abstände hat.

14. Wenn die von einer Ecke ausgehenden Kanten

emes Parallelepipeds sind, wenn von derselben Ecke die Diagonale ^ausgeht, und eine beliebige Strecke durch bezeichnet wird, so giltdie Gleichung der Tetraeder

----- -j- -s-

allgemein, wenn man die Tetraeder von einerlei Sinn (H. 6, 11) mitgleichen Zeichen, und die Tetraeder von entgegengesetztem Sinn mit denentgegengesetzten Zeichen nimmt.**)

.V/

o

Beweis.

Zieht man durch 7V die mit ^4 parallele Gerade,welche die Ebene ^-80 in 0 schneidet, und die Dia-gonale des Parallelogramms 614LL, so hat, man nach Varignon's Lehrsatz (Planim. 8. 9, 8)

' Z- 0^16 -----

folglich für die Pyramiden von gleicher Höhe-s- 71/0-4(7 --- 4/0-4L,