Z. 8. Lubatur der Prismen und Pyramiden.

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deren Zeichen nach den Zeichen der Dreiecke OAS, OA6, OAS bestimmtwerden. Nun ist 4WA — 4TtVA, u. s. w., also auchH4S -st 4/^A6 -- 45tt-AK.

Ebenso hat man in Bezug auf das Parallelogramm SALS4MAL -st EAO -- 4/A^1S,daher durch Addition

4/4VAS -st 4/^A6 -st AM/l/1 ---- 4/1VAS.

1S. Für die durch 5 Puncte bestimmten Tetraeder gilt die Glei-chung

AS6O ^ AS<70 -st SAT>0 -st AOOO -st MSOallgemein, wenn man die Regel der Zeichen (14) anwendet.*)

Beweis. Die 15 Räume, in deren einem der Punct 0 liegt,werden nach der in tz. 6, 3 angegebenen Weise durch vier, drei, zwei,einen der Buchstaben A, S, 6, O bezeichnet, die absoluten Werthe derobigen Tetraeder der Reihe nach durch r, ck, /, /§, «. Wenn nun 6»in dem Raum (AS6O) liegt, so sind alle Tetraeder von einerlei Sinn,und man hat der Anschauung gemäß r — ö-sty-st^-st«. Geht0 in den Raum (AS6) über, so wechselt das Tetraeder AS<70 seinZeichen, und man hat in Uebereinstimmung mit der Anschauung r— S-sty-st/Z-st«. Geht 0 aus (AS(7) in den Raum (AS) über,so wechselt SAOO das Zeichen, und man hat der Anschauung gemäßr-- — S — y-stjZ-st«. Geht 0 aus (AS) in den Raum (A)über, so wechselt A6O0 das Zeichen und man hat r — — S—^—/Z-st«,so daß die aufgestellte Gleichung in allen Fällen mit der Anschauungin Uebereinstimmung bleibt.

Anmerkung. Wenn insbesondere der Punct 0 das Centrum derdem Tetraeder AS6O eingeschriebenen Kugel ist (Z. 3, 12), wenn derRadius dieser Kugel ^ Längeneinheiten, und die den Spitzen A, S, (7,/) gegenüberliegenden Flächen des Tetraeders a, S, e, ct Quadrateinhei-ten haben, so ist**)

r — ^(<r -st b -st o -st ct)/'.

Wenn man durch 7-,, »- 2 , ^ 3 , ^4 die Radien der den Räumen (6SS),(At7O), (SAO), (ASO) eingeschriebenen Kugeln bezeichnet, so erhält manauf dieselbe Weise

r ^( — K —st ö -st 6 -st A)r^, N. s. W.

*) Möbius baryc. Calc. 20. Vergl. Monge 4. äs 1'8e. xot^t. L^ii. 15x. 68.

"*) Lagränze snr Iss p^r. 24 (Nein. äs Lsrlln 1773).