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Fünftes Buch. Stereometrie.

Wenn dem Raum (AL) eine Kugel sich einschreiben läßt, deren Radiusdurch r-z bezeichnet wird, so ist

u. s. w.

r — -^(cr -f- ö — e — <^)^,

Aus diesen Formeln findet man*)

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7*

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-'t »-2

u. s. w.

16. Wie man bei einem planen Polygon die rechte und linke(helle und dunkle) Seite seines Perimeters unterscheidet (Plannn, tz. 9,10), so hat man bei einem Polyeder die äußere und innere Seite sei-ner Oberfläche zu unterscheiden. Um die Anschauung zu unterstützen,überziehe man eine Seite der Oberfläche (die Außenseite) ganz mit Hel-ler Farbe, indem man von einer Fläche des Polygons auf eine folgendeüber die gemeinschaftliche Kante fortschreitet, und lasse die andre Seiteder Oberfläche (die Innenseite) dunkel. Wenn eine Fläche des Polye-ders aus Zellen von verschiedenen Zeichen besteht, so trete man beimUebergaug aus einer gefärbten Zelle in eine entgegengesetzt bezeichnetezugleich auf die andre Seite der Fläche über und setze daselbst die Fär-bung fort. Unter den Polyedern, welche sich selbst schneiden, giebt esjedoch auch außerordentliche (von Möbius entdeckte), bei denen dieäußern und innern Seiten ihrer Oberflächen sich nicht unterscheiden, der-gestalt daß nach Vollendung der vorgeschriebenen Färbung ein solchesPolyeder auf beiden Seiten gefärbt ist.**)

Bei jedem Polyeder, das nicht zu den Möbius'schen gehört, könnendie einzelnen Flächen durch ihre Perimeter so ausgedrückt werden, daßjede Kante als Seite von zwei folgenden Flächen entgegengesetzte Aus-drücke erhält (Gesetz der Kantew. Dazu ist es erforderlich und ge-nügend, daß bei allen Flächen die Umdrehungen, welche durch die Aus-drücke der Perimeter angezeigt werden, für auf einerlei Seiten der Flä-chen stehende Betrachter einerlei Sinnes sind. Wenn z. B. ein Tetra-eder die Ecken A, L, S, S hat und eine Fläche desselben durch ALSausgedrückt wird, so muß die durch die Puncte A, L, S bestimmteFläche den Ausdruck LAS (nicht ALS) erhalten, damit die Umdrehun-gen ALS, LAS für außen auf den Flächen stehende Betrachter einer-lei Sinnes sind; den übrigen Flächen gebühren die Ausdrücke ASL,SLS. In der That hat die durch A und L begrenzte Kante als Seiteder Fläche ALS den Ausdruck AS, als Seite der Fläche LAS den

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).

*) Steiner in Gerg. Ann. 19 x. 93 und Crelle I. 2 x. 97.

Möbius hat in den Berichten der Sachs. Ges. d. W. 1865 x. 31 diese Ent-deckung mitgetheilt und die folgenden Sätze bewiesen.