§. 8. Cubatur der Prismen und Pyramiden.
235
entgegengesetzten Ausdruck LA, u. s. >v., so daß dem Gesetz der Kantengenügt ist. Die Flächen eines durch die gleichen und parallelen KantenAAH 2 ?K( 06" bestimmten Prisma haben die dem Gesetz der Kantenentsprechenden Ausdrücke AOO'A', 02-220', 0'2?'A'.
U. s. w.
Die Pyramide, deren Basis eine Fläche des Polyeders und derenSpitze ein beliebiger Punct des Raumes ist, habe einen positiven odereinen negativen Werth, je nachdem die Spitze auf der innern (dunkeln)oder auf der äußern (hellen, gefärbten) Seite der Fläche liegt. Unterdieser Voraussetzung ist die Summe der Pyramiden, welche eine ge-meinschaftliche Spitze haben, und deren Basen die Flächen eines Polye-ders sind, von dem Ort der Spitze unabhängig.
Beweis. Man bezeichne die Pyramiden, deren Basen die Flächen«, S, . . des Polyeders und deren Spitzen die beliebigen Puncte 0, 2-sind, durch 0a, OL, . ., 2-a, 2-b, . und die Flächen durch ihre Pe-rimeter z. B. « durch ALO.. so, daß dem Gesetz der Kanten genügtwird. Wenn die Differenz 0« — 2-a nicht verschwindet, wenn also dieEbene der Fläche a von der Geraden 02- in <2 geschnitten wird, so ista <2AS -j- 0-60 -j- .. (Planim. ß. 9, 19), und nach Multiplika-tion mit dem 3ten Theil der Höhe der Pyramide
0« -- OOAS -j- OOSO -j- . .
2>a --- 2-HUL 2>0S0 -s- . .
Nun ist 00 — 2 - 0 --- 02-, OOA — 2-OU — 02>A, 00A2? — 2-OUL-- 02-AS, folglich
6>« — 20 02'US ff- 02-L0 -j- . . .
Die Summe aller Differenzen Oa — 2-a -j- OL — 2-ö -s- . . istdemnach der Summe der Tetraeder gleich, welche zu gegenüberliegendenKanten die gemeinschaftliche Kante 02- und je eine Seite der Polygonehaben, welche die Flächen des Polyeders sind. Nach dem Gesetz derKanten kommt aber in dieser Summe neben jedem Tetraeder wie 02-ALauch das entgegengesetzte 02-LA vor. Also verschwindet die Summeder Differenzen, und die Summe der Pyramiden 2-a -j- 2-S -f- . . istder Summe 0« -!- OS . gleich.
Anmerkung. Wenn das Polyeder zu den außerordentlichen (Mö-bius'schen) gehört, so kommt in der Summe 0« -s- OS . jede Py-ramide zweimal vor, einmal positiv, das andremal negativ, und dieSumme verschwindet identisch.
17 . Die von dem Ort der Spitze 0 unabhängige Summe ^ vonPyramiden Oa OS . (16) ist bei einem Polyeder, dessen Ober-fläche sich selbst nicht schneidet, dem Volum des Polyeders gleich.