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Fünftes Buch. Stereometrie.
Beweis. Eine Gerade schneidet im Allgemeinen eine gerade An-zahl Flächen eines Polyeders, dessen Oberfläche sich selbst nicht schnei-det, z. B. der Reihe nach die Flächen /g,-- in S,, Lz, SZ,...Wählt man die Spitze L auf derselben Geraden so, daß 0/^ eine ne-gative Pyramide der Summe L ist, so ist O/, positiv, v/z negativ,u. s. w. Ein unendlich kleiner Raum auf der äußern Strecke 06^ ge-hört zu allen Pyramiden 0/^, 0 / 2 , . ., deren es eine gerade Anzahlgiebt, und kommt demnach in der Summe ^ nicht vor. Ein unendlichkleiner Raum auf der innern Strecke L, Lz gehört zu allen Pyramiden0/z, 0/g, . ., deren es eine ungerade Anzahl giebt, und ist demnachein einfach positiver Bestandtheil der Summe u. s. w. Also um-faßt die Summe L alle Theile des innern Raumes (und nur diese)einfach positiv.
Das Volum eines mehrzelligen Polyeders, dessen Oberfläche sichselbst schneidet, wird durch die angegebene Summe von Pyramiden de-finirt. Z. B. für das von den Dreiecken ALL, SQL, OAL, <7LL,LAL, ALL gebildete fünfeckige Hexaeder findet mandas Volum ALM -j- A6LL - ALM - ALM,Andern man die Spitze der Pyramiden in A annimmt;oder LALL LLAL LL'LL ^ ALLS -s- AOLL— LLLL, wenn man die Spitze der Pyramiden inden Durchschnitt L der Kante AL und der Fläche LLO
verlegt.
Für das achteckige Hexaeder, welches von den hohlen ViereckenALOL, LD'L'A* , und von den Vierecken ALL'A',LLL'L', LLL'L, LAAM mit sich selbst in L, L, L,L schneidenden Perimetern gebildet wird, findet mandas Volum
OALLO -f- LL'GL'A'
Z- OALLL OLLL -s- OLL'A'
Z- 0O0L -j- VLLL Z- OLGGL'
OLLS
Z- 06'LLL-j- OLA//
-fi OLLL -j- OLLA'L'
d. i. die Summe der beiden äußern Zellen vermindert um die zwischen-liegende Zelle.
Anmerkung. Wenn die planen Polygone a, S, o, . . (zerstreutoder verbunden) gegeben sind, und jedes derselben auf einer Seite be-zeichnet ist, so daß eine Pyramide, deren Basis das Polygon ist, einenpositiven oder einen negativen Werth hat, je nachdem der Spitze diemchlbezeichnete oder die bezeichnete Seite der Ebene zugekehrt ist, so hat