H. 9. Cubatur der Kugel und anderer Körper.
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die Summe der Pyramiden Oa -j- Ob -s- Oo -j- . . entweder einenvon dem Ort der Spitze 0 unabhängigen Werth, oder sie erhält einensolchen nach Hinznfügung einer bestimmten Pyramide LH-. In dem letz-ter» Falle bleibt die in Betracht gezogene Summe Oa-j-ObOo-s-..unverändert, wenn die Spitze 0 auf einer Ebene von bestimmter Stel-lung (parallel mit ^>) sich bewegt. *)
§. 9. Cubatur der Kugel und anderer Körper.
1. Das Volum einer Kugel beträgt H des umgeschriebenen Cylin-ders, dessen Basis ein Hauptkreis und dessen Höhe ein Diameter ist.Daher
Volum der Kugel — H Hauptkreisfläche x Diameter— An Cubikradien.**)
Beweis. Wenn das Quadrat ASOD um die Axe AS rotirt, sobeschreibt die Seite OK einen Rotationscylinder, die Diagonale AO ei-nen Rotationskegel, der eingeschriebene Kreisquadrant SK eine Halbku-gel. Irgend eine Ebene, welche die Axe AS normalin L schneidet, schneidet die drei Flächen in concen-trischen Kreisen, deren Radien L'S, SO, L// sind.
Nun sind die Winkel OAS, SOA, LOA gleich, alsoSO —^ AL; daher -j- L/K ^ ^ ^2
— A/K — AL>2 — nach dem PythagoreischenSatz; folglich die Summe des Kegelschnitts ( 71 . LO^)und des Kugelschnitts ».SS^) gleich dem Cylinder-schnitt O.LS^). Vergl. Planim. tz. l3. Aus der für alle Quer-schnitte der drei Körper, des Kegels, der Halbkugel und des Cylinders,geltenven Gleichung schließt man nach ß. 8, 8, daß die Summe desKegels und der Halbkugel dem Cylinder gleich ist. Nun beträgt derKegel H des Cylinders (8- 8, 10), also die Halbkugel § desselben, u. s. w.
2. Das Stück einer Fläche, welches durch eine Ebene begrenztwird, heißt eine Zone o-ckotts). Der Raum, welcher von einer
*) Möbius Statik 56. Vergl. Planim. H. 9, 11 und Z. 10, 8.
**) Die Ausmessung des Volums der Kugel und ihrer Oberfläche gehört zu denglänzenden Leistungen von Archimedes, und ist enthalten in dessen Schrift überKugel und Cylinder I, 37. Kugel und Cylinder waren deshalb auf Archimedes'Grabmal zu Syracus gesetzt; an diesen Kennzeichen hat Cicero dasselbe wiederaufge-funden (Düse. (ju. V, 23). Der hier gegebene Beweis des obigen Satzes scheintzuerst in v. Gegner's Anfangsgr. d. Math. (tz. 581 d. 2ten Äufl. 1773) vorzu-kommen.