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Fünftes Buch. Stereometrie.
durch /, so erhält man* **) )
/ au i(1 — u) — rkusl — u) — ö — (ö-j-ck — a)u -fi clu^.
Diese Formel lehrt, daß der Querschnitt verschwinden kann (Pla-nim. Z. 9, 10), wenn nämlich z/a, zu einander sich nicht ver-
halten, wie die Seiten eines Dreiecks, und daß unter allen Querschnit-ten es einen kleinsten giebt, wenn cl positiv ist. Bergt. Algebra tz. 6, 4.
Die gefundene Formel giebt den Mittelschnitt o des Körper-segments, wenn « H, nämlich
o ---- ^(a 4- b) —
Durch Benutzung dieses Werthes erhält man für das Volum des cu-birten Körpersegments statt H<a -j- ö)/r — ^ck/e die Formel^(a -s- ö ^ 4e)^ oder o/i
8 . Wenn die geradlinige Fläche, deren Segmente und Querschnitteim Vorstehenden betrachtet wurden, abwickelbar (äövslopxabls) ist d. h.aus planen endlichen oder unendlich kleinen Theilen besteht, so kannauch der Perimeter eines beliebigen Querschnitts der Fläche und desihr beigeordneten Kegels durch die Perimeter von zwei parallelen Quer-schnitten der Fläche ausgedrückt werden.
Drei parallele Ebenen schneiden den zwischen den Geraden -4 <7 undSO enthaltenen planen Theil der abwickelbaren Flächein den parallelen Strecken AS, <7O, SS, so daßL(7 : A<7 — u. Dann ist (Planim. tz. 8, 4)
LS -- v.AS -s- (4 — u)AO.
Vollendet man das Parallelogramm -4OOA, so ist AS— AS — <7O. Für die Perimeter der drei parallelenQuerschnitte und der Basis des beigeordneten Kegels,S von denen AS, <7O, LS, AS Theile sind, und die derReihe nach durch «, fi, go, ä bezeichnet werden, findetman demnach durch Addition
<p — ua -j- (1 — u)fi, ö — a — A
Bei v — ^ erhält man den Perimeter des Mittelschnitts H«-i-M***)
*) Diese Formel für den Querschnitt eines sogenannten Obelisken ist vonTinseau, Koppe und von Brix durch Rechnung gefunden worden, ohne die geo-metrische Bedeutung von A Mit dem Namen Obelisk bezeichnen nämlich Brix a.a. O. und Koppe in der angeführten Schrift willkürlich ein Körperfegment, daszwischen zwei parallelen planen Polygonen enthalten, übrigens von Planen Viereckenoder Dreiecken begrenzt ist, und das sonst unter dem Namen Prismoid vorkommt.
**) Geometrisch und umfassend wurde die erste dieser Formeln von Steiner a.a. O. bewiesen, die letztere für den Obelisken von Koppe in der angeführten Schrift.
*") Steiner a. a. O.