ß. 10. Oberflache des Cylinders, des Kegels und der Kugel. 249

des Kugelschnitts A"S"0".. ist, auf dem die Mitten der Kanten AA',SS', . . liegen. Denn diese Zone ist die Differenz von zwei concentri-schen Kreissektoren mit einem gemeinschaftlichen Centriwinkel, also auchvon zwei gleichschenkeligen Dreiecken mit einem gemeinschaftlichen Win-kel an der Spitze, mithin ein Parallelogramm, dessen Breite die Kämeder Zone AA' und dessen Länge das arithmetische Mittel der Perime-ter ASO. . und A'S'O .. ist. Wenn aber der Kugelradius OA" dasarithmetische Mittel der Radien OA und OA' ist, so ist der Perimeterdes Kugelschnitts A"S"0" .. das arithmetische Mittel der Perimeterder Kugelschnitte ASO.. und A'S'O' . ., welche die Zone des Kegelsbegrenzen.

3 . Die Ausmessung der Fläche, welche auf einer krummen Flächevon einem gegebenen Perimeter eingeschlossen wird, ist im Allgemeineneine Aufgabe von größerer Schwierigkeit, als die Quadratur einerPlanfigur, und heißt die Complanation der unebenen Flächenfigur.Die Complanation der Kugel und ihrer Zonen läßt sich auf die Cuba-tur des Kugelvolums und des Kugelsectors zurückführen mit Hülfe desfolgenden Satzes.

Wenn das geradlinige Dreieck ASO um die auf seiner Ebene durchdie Spitze A gezogene Axe AL rotirt, so ist das Volum des beschrie-benen Rotationskörpers einem Kegel gleich, des- §

sen Höhe der Abstand der Spitze A von der /X.

Seite SO ist, und dessen Basis die von SO be- /; X«schriebene Kegelzone ist.*) / I.--XXX

Beweis. Die Axe werde von SO in L /Xs !

geschnitten, AS sei normal zu SO, SS normal^-

zu AS gezogen. Das von dem Dreieck ALS ^

durch Rotation um AL beschriebene Volum ist als Summe von zwei

Kegeln

Z7r.LS2.AL ^ Z 7 i.LS. 2 ALS -- Z71.LS.LS. AS.

Die von der Strecke LS durch dieselbe Rotation beschriebene Kegelzoneist (2- 71 .LS.LS. Wenn man dieselbe durch (LS) bezeichnet, so hatdas von ALS beschriebene Volum den Werth Z(LS).AS. Ebenso hatdas von ALO beschriebene Volum den Werth Z(LO).AO, also findetman durch Subtraction für das von ASO beschriebene Volum denWerth Z(SO).AS.

Wenn SO mit der Axe parallel ist, so erhält man für das von

>) Archimedes Kugel und Cyl. I, 20.