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Fünftes Buch. Stereometrie.
A60 beschriebene Volum denselben Ausdruck, indem man 06 normalzur Axe zieht, und von der Gleichung
A60 -- 6660 -s- A60 — A66ausgehend einen Cylinder und zwei Kegel berechnet.
4. Ein Kugelsector ist einem Kegel gleich, dessen Basis die Ku-gelzone und dessen Höhe der Kugelradius ist. Das Volum der Kugelist einem Kegel gleich, dessen Basis die Kugelfläche und dessen Höheder Kugelradius ist.*) Eine sphärische Pyramide ist einem Kegel gleich,dessen Basis die sphärische Figur ist, welche die sphärische Pyramidebegrenzt, und dessen Höhe der Kugelradius ist.
Beweis. Der Kugelsector sei durch Rotation des KreissectorsOAL um den Radius 6^4 beschrieben. Construirt man an dem BogenAL die Tangenten A6, 60, 06, 66, so beschreibt die Figur 0A606Ldurch Rotation um die Axe 6A einen Körper, der an Volum einemKegel gleichkommt, dessen Höhe der Radius OA und dessen Basis dieSumme der von ^46, 60, 06, 66 beschriebenenKegelzonen ist (3). Wenn nun die aus Tangen-ten zusammengesetzte gebrochene Linie den Bogen-46 in allen Puncten berührt, so fällt die Figur0-46066 mit dem Kreissector 0-4L, der durchRotation beschriebene Körper mit dem Kugelsector,die Summe der von -46, 60, . . beschriebenenKegelzoneu mit der von dem Bogen -46 beschriebenen Kugelzone zu-sammen.
Der Kugelsector umfaßt das Volum der ganzen Kugel, wenn derBogen -46 ein Halbkreis ist. Dabei gelten die vorigen Betrachtungen.
Der von zwei das Centrum der Kugel enthaltenden Ebenen undeinem sphärische» Winkel (Zweieck) eingeschlossene Körper hat zum Vo-lum der Kugel dasselbe Verhältniß, als der sphärische Winkel zur Ku-gelfläche. Hiernach schließt man (8- 4,5), daß auch eine dreiseitige sphä-rische Pyramide zum Volum der Kugel dasselbe Verhältniß hat, als dassphärische Dreieck, auf dem sie steht, zur Kugelfläche. U. s. w.
3. Die Kugelfläche ist viermal so groß als die Fläche eines ihrerHauptkreise. Eine Kugelzone ist einem Parallelogramm gleich, dessenBasis so lang als ein Hauptkreis und dessen Höhe die Sagitte oderdie Differenz der Sagitten ist.**)
*) Archimedes a. a. O. 50 und 36.
**) Archimedes a. a. O. 35. 48.