H. 10. Oberfläche des Cylinders, des Kegels und der Kugel.

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^ Beweis. Das Volum der Kugel ist sowohl das Product A Ku-

gelfläche x Radius (4), als auch An Quadratradien X Radius (tz. R1). Daher

Kugelfläche — 4n Quadratradienund gleich der Zone des umgeschriebenen Chlinders (1). Das Volumdes Kugelsectors ist sowohl das Product ^ Kugelzone x Radius, alsauch §n Quadratradien x Sagitte (H. 9, 2). Daher- Kugelzone ----- 2n Radien x Sagitte.

! Eine von zwei Kreisen eingeschlossene Kugelzone ist die Differenz voni zwei Kugelzonen, die von je einem Kreis eingeschlossen sind, folglich! u. s. w.

! Anmerkung. Zonen derselben Kugel sind gleich, wenn ihre Sa-

! gitten oder Sagitten-Differenzen (Höhen) gleich sind. Die Fläche einesi sphärischen Winkels hat zur Halbkugelfläche dasselbe Verhältniß, als deri Winkel der beiden Hauptkreise zu 180°. Die Fläche eines sphärischen! Dreiecks hat zur Halbkugelfläche dasselbe Verhältniß als sein Exceß zu360°. U. s. w. Bergl. tz. 4, 5.

8 . Unabhängig von der Cubatur des Kugelvolums wird die Com-planation der Kugelfläche durch folgenden Satz begründet.

Wenn das gleichschenkelige Dreieck AS<7 um die auf seiner Ebenedurch die Spitze A gezogene Axe AA' rotirt, so ist die von der BasisSO beschriebene Kegelzone einem Parallelo-gramm gleich, dessen Breite der Perimeter desKreises ist, welcher zum Radius den AbstandAO der Spitze A von der Basis SO hat, unddessen Länge die Normalprojection SV derBasis SO auf die Axe AA' ist.*)

O as' ^ A'

Beweis. Zieht man SS', 00', OO' normal zur Axe, so istOO' das arithmetische Mittel von SS' und 00', weil SO ----- SO.Die von SO durch Rotation um die Axe AA' beschriebene Kegelzone istaber — 27r.OO'.SO (2, Anm.). Zieht man SO parallel mit S'O',so ist das rechtwinkelige Dreieck SOS dem Dreieck OAO' ähnlich, weildie Winkel LOS und O'AO gleich sind. Daher ist SO.SL—OA.OO',SO'.SO ----- OA.SL, also

2w.OO'.S0 — 27r.OA.SV.

*) Dieser Satz kommt in den Lehrbüchern des 18ten Jahrhunderts vor z. B. beiClairault.