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Fünftes Buch. Stereometrie.

auf der Axe oder Ebene liegt. Der Schwerpunkt der Figur liegt aberauf der Geraden oder auf der Ebene, welche die Schwerpunkte vonallen Paaren wie ^ und ^ enthält (4 und 3).

Ebenso schließt man von einer Figur, die ein Centrnm besitzt,insbesondere von jeder regulären Figur, daß ihr Schwerpunkt vonihrem Centrum nicht verschieden ist.

10 . Der Schwerpunkt der Dreiecksfläche ^1L0 ist derSchwerpunkt der Puncte ^4, S und 0, und theilt den Abstand der Mitteeiner Seite von der gegenüberliegenden Spitze innen nach dem Verhältniß1 : 2. Man ziehe nach der Mitte (7, von ^7) die Gerade 00,, welchedie Fläche ^4S0 halbirt. Jedem Punct ^ der einen Hälfte entsprichtein Punct ^7 der andern Hälfte dergestalt, daß die Strecke H' mit !

.47) parallel ist und von (70, halbirt wird. Die Schwerpunkte von j

allen Paaren wie ^ und ^ liegen auf der Geraden 00,, also liegt j

der Schwerpunkt der Fläche ^tLO auf derselben Geraden. Ebenso schließt j

man, daß der Schwerpunkt der Fläche ^lSO auf der Geraden von .-1 ^

nach der Mitte von 7)0 und auf der Geraden von 7) nach der Mitte ^von Ost liegt. Der gesuchte Schwerpunkt ist also der gemeinschaftlichePunct dieser Geraden, mithin der Schwerpunkt der Puncte ^4, S und(7. Planim. tz. 8, 4.

Der Schwerpunkt des Tetraedervolums A7)077 ist derSchwerpunkt der Puncte A, L, O und O, und theilt den Abstand desSchwerpunkts einer Fläche von der gegenüberliegenden Spitze nach demVerhältniß l : 3. Man lege durch die Mitte O, von ^4S die Ebene<7,07), welche das Volum ^4L07) halbirt. Jedem Punct ^ der einenHälfte entspricht ein Punct ^ der andern Hälfte dergestalt, daß dieStrecke H mit ^47? parallel ist und von der Ebene 0,07) halbirtwird. Hieraus folgt, daß der Schwerpunkt des Volums ^47)07) aufder Ebene liegt, welche eine Kante des Tetraeders und die Mitte dergegenüberliegenden Kante enthält, und daß er mit dem Schwerpunct derPuncte A, L, 0, 7) zusammenfällt (Z. 6, 4).

Der Schwerpunct eines Phramidenvolums theilt den Ab»stand des Schwerpunkts der Basis von der Spitze nach dem Verhältniß .I : 3. Denn dieser Punct erscheint als Schwerpunct der Schwerpunkteron allen Querschnitten der Pyramide, die mit der Basis parallel sind,venn die Coefficienten der Schwerpunkte sich verhalten wie die Quer-chuitte, zu denen sie gehören. Die Querschnitte sind ähnlich und per-Pectivisch, daher liegen ihre Schwerpunkte nebst dem Schwerpunct derPyramide auf der Geraden, welche den Schwerpunct der Basis mit der s

Spitze verbindet. Der Schwerpunct der Pyramide ist aber auch der i