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Fünftes Buch. Stereometrie.

17. Unter einem Prismen Huf (ung-ula, analst) wird der Theileines Prisma verstanden, welchen zwei nicht parallele Ebenen begrenzen.Man construire einen Normalschnitt des Prisma, bestimme den Schwer-punkt seines Perimeters und ziehe durch diesen Punct die Gerade, welchemit den Kanten des Prisma parallel ist. Das Stück dieser Geraden,welches zwischen den nicht parallelen Ebenen enthalten ist, die den Hufbegrenzen, heißt die Schwer kante (barhcentrische Kante) für die Pe-rimeter der Normalschnitte.

Die prismatische (cylindrische)Huffläche ist das Productdes Perimeters ihres Normalschnitts mit der zugehörigen Schwerkante. *)Beweis. KLO/)., ist ein Normalschnitt des Prisma, //, 6,. . sind die Mitten von A6, 60, 61), . . . Der Schwerpunkt 6des Perimeters A606.. ist der Schwerpunkt^ ^ von A6.L, 60.6, 01)..V, . . . Werden nun

ch' die durch U, 1), O, . . gehenden Kanten und diet)/! . durch 6, 6, 6, .-II, . . gehenden Parallelen von' einer beliebigen Ebene in Uh 6', O^, . . und 6H6H 6H ck/h . . geschnitten, so hat man (2)

.11). /I/O -s- 60.0/1 -0 0/). IOIO -p- ..

--r (^6 ch- 60 -s-..) 66.

Ebenso ist, wenn eine andere Ebene dieselben Ge-raden schneidet,

U6. H" -0 60 66" -si 06. ck/ck/" ch- .. (U6 60-s-..) 66",

folglich durch Subtraction

U6. /06" -j- 60.66" -0 . . (U6 -si 60 66".

Nun ist der auf der Ebene U666 liegende Theil der Huffläche— A6.6"L", u. s. w., 66" die Schwerkante für die Perimeter derNormalschnitte, also u. s. w.

Anmerkung. Zwei Hufe eines Prisma (Cylinder) haben gleicheFlachen (Zonen), wenn ihre Schwerkanten in Bezug auf die Perimeterder Normalschnitte des Prisma von gleicher Länge sind.

18. Die Schwerpuncte der Flächen von allen Schnitten eines Prismaliegen auf einer Geraden, die mit den Kanten des Prisma parallel ist.**)

Beweis. Die Flächen der Dreiecke U60, KOI), . ., aus denenein Schnitt U606.. des Prisma besteht, haben die Schwerpuncte 6,6 ,.., die Fläche des Schnitts U606.. hat den Schwerpunkt 6. Zieht

*) Die Cylinderhufe sind zuerst von Gregorius a. St. Vincentio (oxus^eoiu. 1647) ohne baryceutrische Betrachtungen complanirt und cubirt worden.Meier Hirsch (geom. Aufg. II, 163) hat den obigen umfassenden Satz nicht ganzccrrect dargestellt, wie von L-teiner u. A. erinnert worden ist.

") Merer Hirsch a. a. O. 161.