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Sechstes Buch. Trigonometrie.
Ecken, / Zlächen und L Kanten. Die gegenseitige Lage der s Eckpnnctewürde im Allgemeinen durch 3s — 6 Elemente bestimmt sein. Wennaber die Flächen des Polyeders der Reihe nach n,, »z, . . Seitenhaben, so liegen n, — 3 Eckpuncte der ersten Fläche, ^ — 3 Mp„nxteder zweiten Fläche, .. jedesmal auf der Ebene der 3 übrigen Eckpuncte;die Bestimmung dieser Puncte erfordert demnach je 1 Element weniger.Also ist das Polyeder durch
3s-— 6 — (n, — 3) — (n., — 3) — (»g — 3) — . .Elemente bestimmt. Die Anzahl der Subtrahenden ist /, die Summen, -st »2 -st Ng -st . . ist 2b, ferner ist 3e -st 3/ — 6 --- 3b (Ste-reom. st. 7, 1), folglich
3s — 6 — (n, — 3) — (-r., — 3) — . . — b.
Die Anzahl b erreicht den Werth 3s — 6 in dem Falle, daß alle Flä-chen des Polyeders Dreiecke sind. In der That ist dann 3/ — 2b,u. s. w.
2 . An die Erkenntniß, daß eine Figur durch n ihrer Elementebestimmt ist, schließt sich die Aufgabe, aus dcu n bestimmenden (gegebe-nen) Elementen nicht nur die Figur zu construiren, sondern auchdie übrigen bestimmten (unbekannten) Elemente der Figur zu berech-nen. Die Mittel znr Construction der Figuren sind in der reinen Geo-metrie selbst enthalten, und werden zum Theil für technische Zwecke be-sonders ausgebildet in der angewandten Disciplin, welche den Namendeskriptive Geometrie führt. Von den Mitteln zur Berechnungder bestimmten aus den bestimmenden Elementen einer Figur handelt dieTrigonometrie. Nun wird zwar in derGeometrie gelehrt, wie maneinen Winkel eines planen Polygons aus den übrigen Winkeln desselben,eine Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks aus den beiden andern Seiten,die Fläche eines Dreiecks aus seiner Basis und der Höhe oder aus den.drei Seiten berechnen kann, u. s. w. Es giebt aber noch andere metri-sche Relationen unter den Elementen einer Figur, die auf dem Gebrauchder sogenannten trigonometrischen Funktionen beruhen, und diese vorzugs-weise bilden den Inhalt der eigentlichen Trigonometrie.
Besondere Abschnitte der Trigonometrie, in denen die metrischenRelationen unter den Elementen eines Vierecks, Polygons, Tetraeders,Polyeders zur Betrachtung kommen, werden durch die Namen Tetra-gonometrie, Polygonometrie, Tetraedrometrie, Polye-drometrie bezeichnet. Je nachdem die Figuren plan oder sphärischsind, wird auch die von ihnen handelnde Trigonometrie plan odersphärisch genannt.