§. 4. Goniometrie.

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oder

Itzu- — 4«2K2 -s- 4e2Z2 — («2 -j- K2 — g2

Es ist aber (7)

oos(« -s- /) — 2eos^^(« fi- )/) — 4folglich

16«2 —- (^2 -s- K2 — <-2 - ^2^2 — IßerLeck LOS^ ^ (<2 -s- )/)

Z2>2 — 8aKcck608(lr-s-^).1 — 2sill2H(a -s-

-4 (aö—c^)2 — («2 -s- K2

^2 _

Ä^)2 -s-16aöeÄsill2 A (« -s-/).

Setzt man zur Abkürzung (Planim. 8. 14, 29)

4(aö -s- 0Ä)2 - («2 -j- -2 - g2 - ^2^ —

4(ai -s- ecs)2 — («2 -s- K2 — g2 — ck2) —. Igv^ 2^

wobei e>2 — v^2 — «Keck ist, so bleibt

— aöoeioos^ltt -s- ),)*)

-s- aiee?8iii2 ^ -s- )-).

Hieraus erkennt man, daß n der größte, v, der kleinste Werth ist,welchen die von den Seiten a, S, e, ^ eingeschlossene Fläche er erhaltenkann. Jener wird erreicht, wennov8ß(« -fi 7) — 0, a -s- y —180°,und das Viereck einem Kreise so eingeschrieben ist, daß der Perimetersich selbst nicht schneidet (Planim. tz. 15, 7); der kleinste Werth wirderreicht, wenn 8in^(«-j-y) — 0, a — 0, und das Viereck einemKreise so eingeschrieben ist, daß der Perimeter sich selbst schneidet.**)

In dem ersten Falle ist oos^ — — cos«, mithin

-i- ^

--?2

2(crö -s- cck)

Daraus findet man wie oben (10)

— (a — b)2-j-(<?-s-ck)2 (—a-s-K-s-o-s-ck) (er— ü -s- o-^ck)

2aö -j- 2eck 2aö -s- 2cck

(a K) 2 — (e — ck) 2 _ (a -j- ö — e -j- ck) (a -s- ö -j- o — Ä)

1-608« — -

1 -s- 608 « —

tan^2^.^ —

2aS -j- 2cck 2ab -1- 2eck

(—afi-b-s-e-s-ri)(a— b-s-e-j-ck) (s — rr) (s — ö)

(rr-s-ö— o-s-ck) («-s-ö-j-o— ck) (s — e) (s — ck)'

wenn man a-s-i-s-e-s-ck— 2s setzt (Planim. ß. 14, 29). Aehn-liche Werthe ergeben sich bei dem zweiten Falle, in welchem oo^ —eo8a ist.

13 . Die Mitten der Seiten S<7, 6)4, ^4L des Dreiecks ^4L6werden durch /fi, , 6, bezeichnet, das Centrum des Kreises ^4L6

") Strehlke Grün. Archiv 2 x. 32k. Vergl. 4. x. 447, 34 x. 12 derselbenZeitschrift.

**) Diese Eigenschaft des einem Kreise eingeschriebenen Vierecks, dessen Perimetersich selbst schneidet, ist von L'Huilier gesunden worden (äs rslntions mntns, . .x. 23).