310

Sechstes Buch. Trigonometrie.

durch M, der gemeinschaftliche Punct der Höhen OA, SS, 00 durchlV, die Winkel des Dreiecks durch «, st, /, der Abstand des Punctes 4/von A, S, 0 durch der Abstand der Seiten OS, SO, <20 desDreiecks OSO von dem Punct lV durch 9 (Planim. tz. 6 ,9). Dann ist

A^M ----- i-oos«, S^M — i-ooost, O^M — r-oos)-,lVA — 2^608«, lVS — 2i°oo8st, lVO — 2^608)-,

OlV — 2^ ov8 st oos/, SlV — 2»° 008 )-oos «, OlV — 2i-oo8«oosst,OS — -"8iri2<x, 00 — ^8in2st, so — I"8iri2/,

OSO : ASO — 2 oos « oo8 st eos)- — 9 :

Beweis. Die positiven Richtungen der Geraden^, A, H, auf de-nen die Seiten SO, OA, AS liegen, werden so bestimmt, daß die ge-nannten Strecken positiv sind; die positiven Richtungen ihrer Normalen2", /, /? werden so bestimmt, daß die Winkels, je 90" be-

tragen; die positiven Richtungen der Geraden L, auf denen die Stre-cken Ait/, SM liegen, werden so bestimmt, daß diese Strecken den Werth?- haben. Dann ist OsM — AMoosL^^, L/? — also 0,M

— /-608 ),, u. s. f. Die Strecke lVO hat mit O^Meinerlei Richtung und ist doppelt so groß (Planim. tz.12, 8). Ferner ist OlV — OlV<;os , /r(0 — ä/----- 180° — st, folglich OlV — lVOeos st, u. s. w.

Weil SA — SA 608 — ASoos« und AO —

AOoosA^ — OAoos«, so ist SAO : OAS —SA.AO : OA.AS — 008°°«, u. s. w. Durch Sub-

traktion der Dreiecke SA<2, OSO, OOS von ASO behält manOSO: ASO — 1 — oos^« — oos^st — 008 ^ — 2 oosaoosstoos)- (11).

Weil S, 0, S, 0 auf einem Kreise liegen, so sind die DreieckeASO und ASO ähnlich, OS: SA — SO: AS, folglich

OS — SOoos« — 2^8IQV!008« — I"8iil2«,

2S0.lV — 9/-siri2«, . 20S0 ---- 9^(81112« -s- sill2st -j- 81112/,!.

Nun ist 2ASAS — AS. 0,M — 2r--siii/ eos/ — sin2/, . ., also2AS0 ----- /'^(8iu2v: -j- 8iu2st -s- 81112^),

OSO : ASO —9:1-.

Für das Produkt OlV.lVO findet man den Werth

4?-''608 «LOSst LOS /

in Uebereinstimmung mit Planim. tz. 14, 7, weil der Diameter desKreises OSO ist (Planim. tz. 12, 8).

*) Feuerbach das geradlinige Dreieck 23 ff.