§. 5. Sphärische Trigonomettie. 313

Wenn die Seiten ^4S, so eines sphärischen Dreiecks normal zueinander stehn, so ist*)

oc>8-4Soo8S6 — 008 04.

Beweis. Durch den Punct 0 gehn die Geraden /) A, H so daßdie Ebenen /A und AH normal zu einander stehn. Ist O die Normal-projection des Punctes S der Geraden H auf die Ge-rade A, und S die Normalprojection von O auf dieGerade /, so ist 6// eine Normale der Ebene OSOund OS eine Normale der Ebene SOS (Stereom.tz. 2, 3), folglich S die Normalprojection von S aufdie Gerade /. Nach tz. 4, 2 hat manOS---OOoo8/A, 00--OSco8AH, OS—OSeosH/, «folglich ev8/Aoo8AH ---- oooH/. Wenn nun die Kugel, deren CentrumO und deren Radius eine Längeneinheit ist, die positiven Richtungender Geraden /, A, H in ^1, S, <7 schneidet, so ist der Bogen ^iS demWinkel /A gleich, u. s. w.

2. Wenn S4, ^1S, SS Bogen der Hauptkreise A, H, sind, und^4 ein Pol von p ist, so hat man

«inSS: siuS^ : 8ir»^4S — sirrHA : 8»nAx> : siuAH.

Beweis. Bestimmt man zunächst die positiven Sinne der Haupt-kreise A, H, 7 - so, daß -4S — 90°, -4S — 90°,und ^4 der linke Pol von A ist, und beschreibtman die positiven Winkel durch linksum gehendeDrehungen, so ist der Bogen SS dem Winkelgleich (Stereom. Z. 4, 7), Ax> --- 90°, H^>

90°, folglich

8illSS: sinS4 : 8IN/4S — 811»AH : — 1:1

— siuHA: 1 : — 1

— 810 HA : 8Il»AA : 8»I»/lH.

") Die ersten Sätze der sphärischen Trigonoinetrie sind im 3ten Buch der Sphä-rik von Menelaus und im ersten Buch des Abnagest von Ptolemäus enthalten.Dieselben wurden für den Gebrauch in der Astronomie von den Arabern, unter denNeuern im löten Jahrhundert von Regiomontan u. A. weiter ausgebildet. DieAbleitung der gesammten sphärischen Trigonometrie aus einfachen Principien hat E Li-ier unternommen, Neu», äs Lsrlln 1753 x. 233 und Hots. kstrop. 1779, I n. 72.Auf ein einziges Princip wurde die sphärische Trigonometrie durch Lagrange (3. ckel'Hools xolxt. (lnir. 6 x. 270) zurückgeführt, dessen Abhandlung durch Gauß einewesentliche Ergänzung erhalten hat in den Zusätzen zu Schumachers Uebersetzung vonCarnot's xsom. äs pos. II p. 373. Die frühere Beschränkung der sphärischen Tri-gonometrie auf Dreiecke, deren Seiten und Winkel 180° nicht übersteigen, ist vonMöbius aufgehoben worden (Analyt. Sphärik 15 ff. Berichte der Leipziger Gesell-schaft 1860 x. 51), dessen Darstellung hier im Wesentlichen wiedergegeben wird.