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Sechstes Buch. Trigonometrie.

Werden die positiven Winkel durch rechtsum gehende Drehungen be-schrieben, so erhalten 8m siiiM, 8in/6 die entgegengesetzt gleichenWerthe (H. 4, 3), aber die Verhältnisse : 8mM bleiben

unverändert. Wird der positive Sinn von ^ so bestimmt, daß 4 derrechte Pol von ist, so wechselt der Bogen 4//V das Zeichen, und dieWinkel 4/,, ^ ändern sich um je 180°; dadurch wird die obige Pro-portion ebenfalls nicht verändert. Wird einer der beiden andern Haupt-kreise z. B. A in dem entgegengesetzten Sinne genommen, so wechselnE44/, 8iuäA, 8INM das Zeichen, ohne daß die obige Proportion ihreGültigkeit verliert.

3. Wenn 66, 64, 46 Bogen der Hauptkreise /, A, 4 sind, undä zu / normal steht, so ist

, 8iu66 . ,

SINAä -- 8M/S- --

sm46

8in 4/.

bin 64 '

Beweis. Ist 4 ein Pol des Hauptkreises />, von dem /, A, 4 in6, 4/, 6^ geschnitten werden, so ist 6 ein Pol desHauptkreises 4, weil ^ und / normal zu 4 stehn.Zugleich ist normal zu F, folglich in demDreieck 64/6 ( 1 )

oos64/oo8 4/6 — eo8 66.

Weil 64/ — 64 Z- 44/ und 44/ entweder ei-nen oder drei Quadranten beträgt, so hat oos64/(ß. 4, 3) in dem ersten Falle den Werth — M 64, in dem zweitenFalle den Werth -s-sm64, also in jedem Falle den Werth —siu64 8m44/.U. s. w. Also ist

sin 648m44/8iii46V8m66 — -— 8m 668m 66.

Nun ist aber in den Dreiecken 4/644, 666, (2)

8iii 44/ : 8m 46V — 8iu/i4 : siri 4^,

8iii 66 : 811166 — siii /4 : sm 4 ^>.

Daher findet man durch Multiplication

8in 64 8in^44/sin-66 — sin 66sin" 66

8m 4Z>

weil 8iiip4 — — 8m4x>. Nun ist 8in ^44/ — 1, u, s. w., also

. ^ ^ ^ 8m 4/

8m 64 8iii 66;

81QA4

gleichbedeutend mit der ersten der behaupteten Gleichungen. Die andereGleichung ist auf dieselbe Weise gebildet.