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Sechstes Buch. Trigonometrie.

eine Tangente des Kreises (L). Wird der Diameter OO' des Kreises(A) von dem Kreis (S) in L und L' geschnitten, so ist UL'.UL" ----- ^t(7-

---- US" und (O, Oh L, L') ---- — 1.Dasselbe gilt von zwei sich normal schnei-denden Kugeln. Den entsprechenden Satz überzwei sich normal schneidende Kreise einer Ku-gel hat Guder mann nied. Sph. 307 ge-geben.

AI. Die Diagonalen der durch 4 Ge-rade einer Ebene bestimmten Vierecke theileneinander harmonisch. *)

Beweis. Die Geraden -4ü, OAH U'LHO'U bilden 3 Vierecke mit den Diagonalen-4AH LOH 66h so daß -4A' von LL' und66' harmonisch getheilt wird, u. s. w. Das anharmonische Verhältnißder Puncte U, .4', und der beiden Puncte, welche die Gerade UU' mit^ SS' und 66' gemein hat, wird nach (1) durch(U, Ah LOH 66') bezeichnet. Um seinen Werthzu finden, projicire man die Figur aus einembeliebigen Punct L des Raumes auf eineEbene, die mit der Ebene 66'L parallel ist.

Die Projektion des Vierecks A/OI'L' ist einParallelogramm (5), die Projektionen von AA' und LL' halbireneinander, die Projektion von 66' ist unendlich fern. Daher istAh LOH 66') ^ — 1 . Ebenso findet man (L, />", 60', AA')— 1 und (6, 6', AAH SO') ----- 1.

Derselbe Satz gilt von den Diagonalen der durch 4 Hauptkreiseeiner Kugel bestimmten sphärischen Vierecke.

Anmerkung. Bezeichnet man die gemeinschaftlichen Puncte derDiagonalen durch 7H //, die Mitten der Diagonalen durch -4", L",6", so hat man (10)

A"A2 ^ A"6.A"77, ^ /t"//.L"7H 6"6^ --- 6"O.6"6.

Hieraus schließt man, daß die von -4" bis an den Kreis O6/7 reichendeTangente desselben so lang ist als A"A, u. s. w., daß also die Kreise,von denen A und Ah L und Oh 0 und 6" Gegenpuncte sind, den KreisOOO normal schneiden. Diese Kreise bilden einen Büschel (Planim.

*) Bei P appus VII, 13l findet sich eine Umkehrnng-dieses alten Satzes, dermehrmals reprodueirt worden ist, neuerlich von Carnot Ksom. 4s xos. 225. Bergl.Poncelet xroxr. xroj. 155.