ß. 7. Die projectivischen Formeln.

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7)' geschnitten wird, so sind die Geraden 7/7, 7/77, 7/(7, 7/7) normalzu den Geraden, welche die Puncte 7', L', (7', 7)' mit dem Centrum4/ verbinden. Dreht man die Figur 7/7S(77) in ihrer Ebene um denPunct 7/, bis 7/7 mit 777' parallel wird, so werden 7/L, 7/(7, 7/7)mit 7/77, 770', 7/77 parallel. Daher ist

(7?7, 7/77, 7/(7, 7/7)) (477', 77/7, 770', 777)') --- (7', 77, (7', /)').

It». Wenn mit 3 Geraden ?, von denen nicht zwei auf einerEbene liegen, 4 Gerade r,, 7, e, r/ je einen Punct gemein haben, so sinddie unharmonischen Verhältnisse von Puncten

(?,«, /ib, /w, ?>c/), (?a, ?ö, ?e, ?c7), G«, >°ö, r'ü, r°7)von derselben Größe. Eine Gerade §, die mit 3 unter den Geraden», S, e, <7 je einen Punct gemein hat, hat auch mit der vierten einenPunct gemein, und liegt demnach auf dem sowohl durch die GeradenP, ^ als auch durch die Geraden a, 7>, e bestimmten geradlinigenHyperboloid. Stcreom. Z. 1, 8.*)

Beweis. Auf der Gera-den? werden 4 Puncte 7,, 77,,

0,, 7>i beliebig angenommen.

Die Ebenen -,7,, 7)77,, ^(7,,

7,7), schneiden die Gerade r- in

7.„ L,, (72, ^2 so, daß dieGeraden 7,7z, S,77z, (7, (7g,7), 7).,, welche durch a, -, o, Äbezeichnet werden, mit der Ge-raden die Puncte -4, 7), (7,7) gemein haben. Nun ist (9)

7' ^7^)/

/ / /

^ §

(^ 1 , ^ 1 , 7),)

7 >^, 7,0,, /,/),)

(A 2 , 77, ^2, 7 ) 2 ),

(-1., 77,, (7„ 7),)

(/-/ti, r-s,, r-(7,, ^7),)

(A, 77, 6, 7)),

77, S, 0, /))

(7,, 77,, (7,, 7),)

( 7 . 2 , /,/>, 62, S2).

Durch einen beliebigen Punct 7z der Geraden « ziehe man dieGerade §, welche d und 0 in Lg und (7g schneidet, und die Gerade /,welche S und e/ in L, und 7), schneidet. Dann ist nach dem bewiese-nen Satze

(77, 77,, 77z, 77z) — (7, 7,, 7g, 7g),(77, 77,, 77.2 , 77,) - (7, 7„ 7g, 7g),

Steiner syst. Entw. 51, III. Chasles 7x. bist. dloto 9. Die zweiSysteme von Geraden des hyperbolischen Hyperboloids sind in einem besondern Fallevon Wren, allgemein von Monge entdeckt worden. Bergt. Chasles 4r>. bist.p. 238 d. Uebers.