tz. 2. Die Summe.

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teres gefordert wird. Die gerühmte Richtigkeit der mathematischen Wis-senschaften beruht darauf, daß die Anzahl ihrer Axiome äußerst geringist, und daß ihre Theoreme sich (logisch) beweisen und (empirisch) prü-fen lassen. Der Beweis («noökchlg, rtsmorrstrntio) wird direct ge-führt, wenn man aus der Voraussetzung durch Schlüsse die Behaup-tung ableitet) indirect (apagogisch, eiociriotio sä nlisnränm),

wenn man aus der Verneinung der Behauptung durch Schlüsse dieVerneinung der Voraussetzung ableitet. Ein Schluß (c>v4Toxi.sxtop) be-steht aus Prämissen und der Conclnsion, z. B. Wenn ^4—L, und L— <7, so ist -4—<7; wenn /^>-t7, so ist A>-<7; Gleiches um

Gleiches vermehrt oder vermindert giebt Gleiches u. s. f.

Abgesehen von diesen aus dem Begriff der Gleichheit hervorgehen-den Schlüssen bedarf der erste Theil der mathematischen Wissenschaften(Arithmetik, Algebra, Analysis) keiner Axiome, während die folgendenTheile (Geometrie, Mechanik) nicht ohne einige Axiome begründet wer-den können.

In den alteren Darstellungen bedeutet eorolwrinm ein Theorem, welches einemandern untergeordnet und aus demselben leicht ableitbar ist; temmn (zuein Theorem, welches einer andern Reihe angehörig zur Begründung eines mnsas-sendeten Theorems vorausgeschickt wird.

tz. 2. Die Summe.*)

(Heis H. t und 7).

1. Die Summe zweier Zahlen entsteht durch Hinzuzählen (Ad-dition) der Einheiten der zweiten Zahl zu der ersten Zahl. Beide Zah-len heißen Glieder (roi-mini. torms8) der Summe. Die Summe derZahlen er und S wird bezeichnet er -s- S, gelesen „a xlrm S."

2 . Die Glieder einer Summe können nicht anders als gleichbeuanutsein, die Summe ist mit den Gliedern gleichbenannt.

3. Die Ordnung der Glieder einer Summe ist beliebig:

er —s— ö ö —s— er

a-s-b-s-o — i-j-a-s-c — «Z-o-j- ö.

Denn die Reihe von a Einheiten, zu denen L Einheiten addirt worden,

1 2 z -»123 o

1 -s- 7 -p 7 -j- . . 4- 7 4- 7 -s- 7 -s- 1 -s- . . -s- 7erscheint vom Ende aus als die Reihe von S Einheiten, zu denen aEinheiten addirt worden.

Die Summe a -s- S -s- o erscheint nicht nur als Summe der

4 Für den Zweck der Einübung sind bei den Paragraphen des zweiten und drivtcn Buchs die entsprechenden Paragraphen von Heis' Sammlung von Beispielenund Ausgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra angegeben worden.