Z. 13. Teilbarkeit der Zahle».

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Die Zahl 7V ist durch 7V, theilbar, wenn 7V, weder andere ein-fache Factoren, noch einen derselben in größerer Anzahl hat als 7V.Wenn nämlich «S durch a, theilbar ist, während «i in a aufgeht undS, prim zu a ist, so ist S durch S, theilbar. Denn es sei « — a,o,also ist auch eS durch theilbar und prim zu o, folglich geht S,in S auf ( 4 ). Z. B- 360 — 23.33.5 ist durch 24 ^ 23.3 theilbar,nicht durch 48 ^-2^.3, nicht durch 63 — 33.7. Ein irrednctibler Bruchkann nur dann in einen endlichen Decimalbruch verwandelt werden, wennsein Nenner von der Form 2 «. 5 ^ ist.

Der- kleinste gemeinschaftliche Dividnus von 7V, 7Vi, 7V^, . . wirdgefunden, indem man jedem von den einfachen Factoren dieser Zah-len unter den Exponenten, die er in 7V, 7V,, 7V>, . . hat, den größtengiebt und das Prodnct dieser Potenzen bildet. Z. B. 3.5.7,2^.7, 2.33, 2^.3 haben den kleinsten gemeinschaftlichen Dividnus23.33.5.7.

Der größte gemeinschaftliche Divisor von 7V, 7V^, 7V^, . . wird ge-funden, indem man die einfachen Factoren auswählt, welche 7V, 7V,,7V^, . . gemein haben, jedem derselben unter den Exponenten, die er in^v, 7V,, 7 V 2 , . . hat, den kleinsten giebt and das Prodnct dieser Poten-zen bildet. Z. B. 2 ^. 3^. 5 und 23.33.7 haben den größten gemein-schaftlichen Divisor 23.33.

Wenn a, ö, e, Primzahlen bedeuten, und die mte Potenz

einer Zahl L ist, so sind a, j3, 7 durch m theilbar. Giebt es z. B. <0Factoren a in der Zahl b, so enthält deren «o«, d. h. eine durchm theilbare Anzahl, u. s. f.

Wenn /, F, ü relative Primzahlen bedeuten, und eine mte Po-

tenz ist, so sind /, F, ä ebenfalls mte Potenzen. Denn ein einfacherFactor kann in/s^ nicht einen andern Exponenten haben, als in einerder Zahlen /, §, L, welche prim zu einander sind.

Wenn von einer Zahl ihre Zusammensetzung aus Primzahlenbekannt ist, so lassen sich ohne Weiteres alle Divisoren der Zahl an-geben. Bedeuten a, S, . Primzahlen, so ist durch alle Glie-

der des Products

(1 Z-a-s- «3Z-.. -s- a ")(1 ö-si l>3-p-.,K/?)(i ^

und nur durch solche theilbar. Denn die Glieder dieses Products sindin der Formel enthalten, wobei «, r der Reihe nach die Zah-len «, jZ, 7 nicht übersteigen; also ist durch theilbar ( 10 ).

Die Anzahl aller Divisoren der Zahl ist

(1 si - «)(1 Z - /?)(1 - j - 7 ),

weil das erste Polynomium 1 -s- «, das 2te 1 -s- das 3te 1 -si 7