88
Allgemeine Arithmetik,
Glieder hat. Hierbei sind 1 und (hw Zghs selbst) als Divisoren
der Zahl mitgezählt.
Die Summe aller Divisoren der Zahl ist das Product, durchdessen Entwicklung die Divisoren der Zahl gefunden werden, mithin(8- 12, 5)
«---ei — 1 KM — 1 — 1
a — 1 L — 1 o — 1'
Z. B. 360 -- 2^ . 32 .5 hat 4.3.2 d. i. 24 Divisoren, nämlich1, 2, 4, 8; 3, 6, l2, 24; 0, l8, 36, 72;
5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 12,1, 45, 90, 18«», 36«». -Die Summe derselben ist 15. 13 .6 — 1170.
Anmerkung. Eine Zahl ist vollkommen (rrlkrox, porlsotus)genannt worden, wenn sie der Summe ihrer Divisoren (die Zahl selbstausgeschlossen) gleich ist. Die zur Zeit bekannten vollkommenen Zahlensind in der Formel (2--—1).2-i enthalten, unter der Bedingung, daß2* — 1 eine Primzahl ist*). Z. B. 22 — 1 — 3, 2^ — 1 ----- 7 ,2^ — 1 ---31, 2^ — 1 — 127 sind Primzahlen, so daß3.2--- tz^l-s-2-s-3
7.4-- 28 -^1-4-2-1-44-7-1- 1431 . 16 -- 496 ----- 1 -s- 2 -1- 4 Z- 8 -1- 16 Z- . ..
Wenn nämlich 2* — 1 eine Primzahl ist, so ist die Summe aller Di-visoren von (2* — 1 ). 2 *tt mit Einschluß der Zahl selbst(1 -P 2" — 1)(1 -s- 2 -4- 2- -s- . . -Z 2-i)
--- 2* (2* — 1) --- 2 (2* — 1).2-i,also nach Ausschluß der Zahl (2" — >).2-i gleich derselben Zahl.
Zwei Zahlen sind amicabel genannt worden, wenn jede derSumme der Divisoren der andern (die Zahl selbst ausgeschlossen) gleichist z. B. 220 und 284.
L2. Wenn F>, 2 , . die Primzahlen bedeuten, durch welche das
Product ALO . . theilbar ist; wenn unter den Zahlen A', L', <7', . .durch /?, - 12 , .., L, 7 - 2 , . mml>^xns ebensoviele
theilbar sind, als unter den Zahlen A, L, (7, . . , so ist das Product^4'S'O' . . durch das Product -4S0. . theilbar.**)
Z. B. unter den Zahlen 3, 4, 5, 6, 9 sind 2 durch 2, 1 durch2'4 3 durch 3, 1 durch 32 , 1 durch 5 theilbar.
*) Dncl. VII, äst. 22, IX, 36, Berg«, Klügel Math, W, V p. 887,- Ter-quem Honv, L.nn, III. Ueber die amicablen Zahlen findet man Näheres bei Klü-gel mach, W. I x, 246, V x. 55,
**) Die in (12) und (13) enthaltenen Sätze sind von Gauß (Omn, nrltbm.126, 127, 41).