Z. 13, Theilbarkcit der Zahlen,

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Unter den Zahlen l2, 18, 45 sind 2 durch 2, 1 durch 2^, 3 durch3, 2 durch 3^, und 1 durch 5 theilbar.

Da die letzter« Anzahlen der Reihe nach nicht geringer sind, alsdie erstern, so ist 12 . 18.45 durch 3.4.5.6.9 theilbar.

Beweis. Unter den Zahlen U, S, <7, . . seien « durch 71 theil-bare, durch 7 ,- theilbare, 7 durch 7 -^ theilbare, s. f. Dann ist dasProduct U2U7 . . zunächst durch ^ rheilbar, der gefundene Quotientist wiederum durch ^ theilbar, der neue Quotient durch xr, u. s. w.Das Product USO.. enthält also « -j- si -j- 7 -j- . . Factoren Vongleicher Bedeutung seien die Anzahlen für die Zahlen

U', L', Nun sind nach der Voraussetzung «, /?', 7 , der Reihe

nach nicht geringer als «, /), 7 , . . , also ist « -j- /?' -st / . . nicht

geringer als «-j-si -s- 7 si- . . , d. h. U'L'O'.. enthält nicht wenigerFactoren als AS<7 . . . Aus denselben Gründen enthält U'L't/ . .nicht weniger Factoren g, . als AS<7. . . Daher ist U'L'O' . .durch U2U7 . . theilbar (19).

13. Wenn eine beliebige Zahl der Reihe 1 , 2, 3, . . , m durchL, und die ganze Zahl des Quotienten durch m' bezeichnet wird,

so sindZahlen der Reihe durch k theilbar, nämlich L, 2 L,. . , m'L.Wenn ferner die ganze Zahl des Quotienten durch m" bezeichnetwird, so sind m" Zahlen der Reihe 1 , 2, . . , durch L theilbar,mithin sind Zahlen der gegebenen Reihe durch L- theilbar. U. s. w.

In der Reihe von ebensoviel folgenden Zahlen « -s- 1, cr -s- 2,. . , a -s- M giebt es mindestens m, höchstens m' -si 1 durch ^ theil-bare Zahlen. Die kleinste durch L theilbare Zahl der Reihe, welchedurch a -j- 0 bezeichnet wird, kann « ^ t: nicht übersteigen. Alsoenthält die Reihe die durch L theilbaren Zahlen

cr Z- 0 , Z- o Z- , cr -si 6 Z' (»t 1 )^

und außerdem » -j- 0 Z- mP, wenn 0 klein genug ist.

Das Product 0 -s- 1)(« Z- 2 ) . . (a m) ist durch das Pro-duct 1.2 ... M theilbar. Wenn nämlich das zweite Product aus denPrimzahlen 7 ), s, . zusammengesetzt ist, so sind unter den Zahlen-4- 1 , « -s- 2 , . . , a -si m mindestens ebensoviele durch 7 ?, ,

g, ^ - > theilbar, als unter den Zahlen 1, 2, . ., m, folg-

lich u. s. w. (12). Der Quotient des ersten Products durch daszweite ist eine figurirte Zahl (H. 28), mithin eine Summe von ganzenZahlen, also auch aus diesem Grunde eine ganze Zahl.

Wenn »r » -si S Z- 0 -si.., so ist 1 . 2 .3 ... m durch das Product1 . 2 . . . -r . 1 . 2 . . . s . 1 .2 . . . 6 . . .

theilbar, weil 1 . 2 . . . a durch 1 . 2 . . . a, (a si- 1 ) . . (asi-S)

durch 1.2 . . . S, (« ->- d 1 ) . . (a S -si 0 ) durch 1 . 2 ... c,