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Allgemeine Arithmetik.

16 . Wenn 6 ein Divisor von m ist, so giebt es P Zahlen der

Reihe 1, 2, 3, . . , m, für welche S der größte Divisor ist, den siemit m gemein haben. Denn unter den Zahlen von 1 bis m sind S,

2ö, . . , durch ö theilbar. Nun ist S der größte gemeinschaftliche

Divisor von KS und wenn L und relative Primzahlen sind.

Also giebt es in der gegebenen Reihe ebensoviel Zahlen, welche mit mden größten gemeinschaftlichen Divisor ö haben, als es Zahlen der

Reihe 1 , 2 , . . , ^ giebt, welche prim zu ^ sind, nämlich nach

der angenommenen Bezeichnung (>5).

Wenn alle Divisoren der Zahl m durch 62 , äg, - - bezeichnetwerden, so ist*)

P(ä, - -st Psäz) Z- <p(äz) -st . . m.

Diese Eigenschaft wird erkannt, indem man die Zahlen l, 2, . . ,M nach dem größten Divisor, welchen sie mit m gemein haben, grnppirt.In die Gruppe derjenigen Zahlen, welche mit m den größten gemein-schaftlichen Divisor haben, gehören ) Zahlen; in die Gruppederjenigen Zahlen, welche mit m den größten gemeinschaftlichen Divisoröz haben, gehören Zahlen, u. s. w. Die Summe dieser An-zahlen -st -st . . ist m, vie Menge der vertheilten Zah-

len. Die Reihe ^^. umfaßt aber alle Divisoren von m.

Diese Abzahlung wird durch folgende Rechnung bestätigt. Es sei maus den Primzahlen a, b, 0 zusammengesetzt und zwar mEin Divisor S dieser Zahl ist von der Form ^^ 0 *, wenn il eine Zahlder Reihe 0, 1,2,..,« bedeutet, ^ eine Zahl der Reihe 0 , 1 , 2,. . , st und v eine Zahl der Reihe ll, 1 , 2, . . , z. Nun ist (15)y,(ä) - ^ P(ast)) <x(b^) P(o^).

Also stimmt die Summe aller Werthe von y>( 6 ), welche zu den einzel-nen Werthen von x, v gehören, mit dem Product der Reihen

Pd) "st P(K) -st P(a^) st- . . -st ysta«)

<p(1) -st P(ö) -st Y>(K2) -st . . -st

v(i) -st y>(o) -st -st . . -st P(ar)

*) Gauß Oisg, uritbw. 39. Bergt. Dirichlet a. a. O.