Z. 18. Die Wurzel.
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Anmerkung. Die Wurzeln endlicher Zahlen nähern sich mehrund mehr der Grenze 1, wenn die Wurzelexponenten ins Unendlichewachsen. Es ist nämlich unter der Voraussetzung a >> 1
Hirn w "V M
4^ a <X 4^«, Weil V « — «4/^a.
Ebenso ist unter der Voraussetzung a -< 1
M-i-N m M
4^K )> 4/ a, weil V a — «4^a" -0 a.
Nun kann im ersten Falle 4^a — 1 geringer als ein beliebig kleinerBruch w gemacht werden, indem man m so groß nimmt, daß (1 -j
>> a wird. Und im zweiten Falle kann 1 — 4/» < w gemacht wer-den, indem man n so groß nimmt, daß (1 -«)*<«- wird. Also ist
IiM 4/^a — liiu — 1, w — ov.
7 . Die Wurzeln ganzer Zahlen sind entweder ganz oder irratio-
nal (Z. 16 , 4 ). Wäre g/a ein irreductibler Bruch , so wäre
«. Weil irreductibel ist (tz. 13 , 6), so würde a keine ganze
Zahl sein gegen die Voraussetzung. Also kann g?« durch einen Bruchnicht genau angegeben werden.
8 . Die mte Wurzel einer realen oder imaginären Zahl (tz. 16 , 6)ist das Product einer absoluten Zahl mit der mten Wurzel der positi-ven oder negativen realen oder imaginären Einheit. Nach ( 3 ) setzt manunter der Bedingung a --
4^ -sia ^ L'/ si- 1 , ^ ra ^ si- i.
Die Wurzeln der verschiedenen Einheiten sind mehrdeutig*) und fallenmit den Wurzeln der Gleichung — 1 — 0 zusammen. Vergl.Algebra H. 10.
g 3
Um die Werthe von 4X1 zu finden, setze man 4^1 ^ w, folglich-cb — 1 — 0 . Nun ist — 1 — (« — IX«? -j- m -s- 1 ). Jn-
*) Die Mehrheit der Wurzeln einer Gleichung wurde deutlicher erkannt, nach-dem die Auflösung der cübischen und biquadratischeu Gleichungen gelungen war.Vergl. Descartes Ueom. III. Die »neu Wurzeln von 1 und — 1 werden zu-erst in Lotes' Theorem (Uurm.mens. 1722 x. 114) angetroffen, welches die Fac-toren von 1:1 geometrisch -goniometrisch) angiebt. Weit schwieriger war die al-gebraische Auflösung der Gleichung — 1 — 0, welche vouVandermonde Msm.4s knris 1771. Rssol. äss egunt.) gefördert und von Gauß (visg. uritlrm, VII.Werke U x. 245) vollbracht wurde. Vergl. Lagrange Vruits äes sguut. Uote 14.Baltzer. I. 2. Aufl. tz