Z. 18. Die Wurzel.

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I. Wenn « eine mte Wurzel von 1 und L eine beliebige ganze Zahl

ist, so ist auch xsne Me Wurzel von 1, und von nicht ver-

schieden. Denn («K)'" — (ce">)^ — U — 1,

II. Wenn L prim zu m ist, so ist eine von 1 verschiedene Lte

Wurzel von 1 nicht zugleich eine mte Wurzel von 1. Man bilde vonL nach dem Modul m den Rest 7,, ferner von m nach 71 den Rest s,von 7, nach s den Rest u. s. w. Die Reihe dieser Reste geht bisauf 1 herab, weil L prim zu m (ß. 13, 3). Eine von 1 verschiedeneIcke Wurzel von 1 wird durch « bezeichnet, so daß --- 1. Wäre nunzugleich 1, so wäre auch «n ^ l, weil

«n — «p.

Ebenso würde man schließen, daß ^ 1, «r ---1, u. s. w., daßendlich w ---- 1. Dieß ist gegen die Voraussetzung, also kann «»> nicht1 sein.

III. Wenn « eine eigentliche mte Wurzel von 1 ist so sind «, «2,von einander verschieden. Gesetzt, und wären einander

gleich, wobei r- und »- Zahlen der Reihe 1, 2, . . , m bedeuten, so wäre«r . a» — o-r-s ^ mithin v keine eigentliche mte Wurzel von 1.Also sind und verschieden.

IV. Wenn c> eine eigentliche mte Wurzel von 1 und L prim zum ist, so ist auch eine eigentliche mte Wurzel von 1. Denn («^)^ ^^ ist nur dann 1, wenn m in Lm aufgeht. Nun ist L prim zu »r,also L-r nur dann durch m theilbar, wenn m in m aufgeht (tz. 13, 4).

V. Wenn « und j3 eigentliche mte und nte Wurzeln von 1 sind,und m prim zu », so ist eine eigentliche m»te Wurzel von 1 d. h.

nur dann 1, wenn m durch mn theilbar ist. Ist --- durch m theil-bar und durch » nicht theilbar, so ist 1, ^ von 1 verschieden,

also (llAx nicht 1. Ist a- weder durch m noch durch rr theilbar, so sinda* und ^ 1 : von 1 verschieden. Nun ist eine mte Wurzel

von 1, und eine nte Wurzel von 1, also von verschieden(II), folglich ^ ^ (vAx nicht l.

Z. B. Wenn 8 eine eigentliche mte Wurzel von 1 und m ungeradeist, so ist — a eine eigentliche 2mte Wurzel von 1, eine eigentliche4mte Wurzel von 1. Und wenn m durch 3 nicht theilbar ist, so ist

-eine eigentliche 3mte Wurzel von 1, u. s. w.

57) übertragen von Meier Hirsch algebr. Gleichungen 1809 tz. 88. Zur Verhü-tung von Mißverständnissen bat Gauß (Werke II, p. 243) den Ausdruck „eigent-liche (xroxriu) Wurzel" gewählt. Die folgenden Sätze gründen sich aus die Bemer-kungen Euler's (1741 Oomin. Bstrvp. 13 p. 50) und Lagrange's (Nein. äsBerlin 1770. Beilsxions 24. Druide äss egnut. Hots 13).

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