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Allgemeine Arithmetik.

bestimmte Werthe von e, 7 -, » gegeben sind (Algebra 8 - 8 ).besondern Falle wird dann /, so begrenzt, daß

IvK

1007-

e

-s-l0A

1, 0/,"' ^0

In jedem

tz. 23. Potenzen der Binomien mit positivenganzen Exponenten.

1 . Weil (tt-j-ö)»> — ^ a ^ 1 -s-, so kommt

es zunächst darauf an, die ,nte Potenz eines Binomium zu entwickeln,dessen erstes Glied 1 und dessen zweites Glied ein echter Bruch ist.Durch Multiplication findet man

(1 -s- n)2 -- 1 -j- 2 ^ -f- 2)2

(1 -s- 27)S 1 -s- 2-n -fi- «2

->- « -j- 2272

1 -s- 3« -j- 3^2 -j- 27^

(1 -s- 27)4 1 -fi 327 -j- 3272 27^

-s- 27 -j- 3^2 -fi 327b -s- 27-4

1 fi- 427 -s- 6272 -f- 427 b -j- 27^ u. s. s.

Die Factoren, mit welchen in den einzelnen Gliedern eines Poly-nomium die Potenzen einer Zahl multiplicirt sind, heißen (nach Vieta)die Coefficienten der Potenzen, im vorliegenden Falle Binomial-coefficienten. Diese sind bei der 2ten, 3ten, 4ten Potenz

1 2 113 3 1

1 4 6 4 1, U. s. f.

Aus der obigen Entwickelung folgt, daß die Binomialcoefficientender 5ten Potenz Summen von je zwei aufeinanderfolgenden Binomial-coefficienten der 4ten Potenz sind, u. s. f*). Um aber die Binomial-coefficienten einer Potenz unabhängig von den Binomialcoefficientenniederer Potenzen zu finden, muß man dieselben durch den Exponentender Potenz ausdrücken. In der That ist bei der 4ten Potenz4 ^ 4 , 6--4.z, 4--4.z.z,

bei der 5ten Potenz

*) Eine so construirte Tabelle der Binomialcoefficienten (IrranAnlus aritbine-tion8 nach Pascal) findet sich bereits bei Stifel aritdin. 1544 tot. 44.