tz. 23. Potenzen der Binomien mit positiven ganzen Exponenten. 1Z1
5 ^ 5 , io-5.z, io-5.z.z,
Danach ist zu prüfen, ob bei der mten Potenz die Binomialcoefficienten^ —1) —1)(?»—2)
12^' 1.2.3
sich ergeben, so daß man hätte:
1 ) 0 »— 2 )
M(M-1)
(1
1 -s- -s-
1.2.3
2 . Die Zahlen
«rlr»—1t mtnr—tttm—2)
- ,
1.2.0
werden der Reihe nach durch
m V /-»X /mX / ?»x.
tt/ ^1/ >v2/' V3- ' ' '
bezeichnet. Die Formel V zu lesen ,» über L, bedeutet das Product
x^/
von L Factoren, die von m in natürlicher Reihe absteigen, dividirt durchdas Product von L Factoren, die von 1 aufsteigen, nämlich
»»(?»— 1).. —HZ-1)
1.2.. .L
und ist eine ganze Zahl (Z. 13, 13). Die Formel hat den Werth
der Factor 0 vorkommt.
Wenn man mit 1.2... (-»—L) den Zähler und den Nenner desobigen Bruchs multiplicirt, so erhält man im Zähler das Product allerZahlen von 1 bis m, folglich auch
L. 1.2
woraus unmittelbar erhellt, daß
*) Die Bildung der Binomialcoefficienten aus dem Exponenten war durch dievon Fermat und Pascal erfundenen Formeln der figurirten Zahlen vorbe-reitet. Vergl. Fermat's Brief an Roberval 1636 Nov. 4 und Oeuvres äe käsestsä. Ostrurs 1858, II. p. 443. 452. 403. Die Binomialcoefficienten und dasBino-mialtheorem für Positive ganze sowie für beliebige reale Exponenten hat Newtonerfunden und in dem Briefe an Leibniz 1676 Oct. 24 mitgetheilt. Die Bezeichnung
s, j kommt zuerst in nachgelassenen Abhandlungen Euler's vor (^.eta ketrop. V,1 x. 89 und V, 2 x. 76. Nov. V. x. 52).