Z. 25. Variationen und Combinationen gegebener Elemente.

137

Beweis. Sind A und H die zu vertauschenden Elemente, H hö-her als - 4 , -S, <7 die Gruppen der Elemente, welche in der gegebe-nen Complexion durch A und ä getrennt sind, so ist die Differenz derAnzahlen von Inversionen, welche in und vorhanden

sind, gleich der Differenz der Anzahlen von Inversionen, die inund anzutreffen sind. Die Complexion S enthalte « Elemente,davon st höher als F, x höher als H, so sind in der Complexionaußer den Inversionen, welche L selbst enthält, noch « — -j- x In-versionen vorhanden, weil § höher als «- Elemente in L, und weily Elemente in 7) höher sind als Dagegen sind in außer denInversionen welche L enthält, noch « — x si- 1 -si Inversionen vor-handen, weil ä höher ist als « — Elemente in S, weil L höher istals A, und weil Elemente in S höher sind als F. Die Differenzdieser Anzahlen

ist ungerade.

8 . Wenn man die Permutationen verschiedener Elemente durchVertauschung von jedesmal zwei Elementen entwickelt (4), so sind die inden aufeinander folgenden Permutationen vorhandenen Inversionen ab-wechselnd von gerader und ungerader Anzahl (5). Da die Anzahl allerPermutationen gerade ist, so giebt es ebensoviel gerade Permuta-tionen (mit gerader Anzahl von Inversionen), als ungerade Per-mutationen (mit ungerader Anzahl von Inversionen).

§. 25. Variationen und Combinationen gegebener

Elemente.

(Hei» tz. 88 ff.).

1. Variationen Lter Classe von gegebenen Elementen hei-ßen die Complexionen von je L aus der Reihe der gegebenen Elemente.Die Variationen nter Classe von n Elementen sind von den Permuta-tionen derselben nicht verschieden. Variationen (n -j- 1)ter Classe vonn Elementen können nicht gebildet werden.

Die Complexionen, welche je L der gegebenen Elemente enthalten,von denen aber nicht zwei aus denselben b Elementen gebildet sind, hei-ßen die Combinationen Lter Classe der gegebenen Elemente. DieCombinationen Iter, 2ter, 3ter,.. Classe werden auch Unionen, Bi-llionen (Amben), Ternionen (Lernen),.. genannt.