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Allgemeine Arithmetik.
2. Von n Elementen giebt es
n(n — 1 ).. (n — L -j- 1 ) Variationen Lter Classe,
——^ ^ ^ —Combinationen Lter Classe.
Beweis. Um aus den Variationen Lter Classe die Variationen(LI)ter Classe zu bilden, setze man zu jeder Variation jedes Element,das sie noch nicht enthält. Man erhält also (n — L)mal soviel Varia-tionen (L -s- 1)ter Classe als Lter Classe. Nun giebt es rr Variatio-nen erster Classe, folglich — 1) Variationen 2ter Classe, n(n—i)(n—2)Variationen 3ter Classe, u. s. f.
Die Variationen Lter Classe lassen sich in Gruppen so abtheilen,daß die Variationen jeder Gruppe Permutationen derselben L Elementesind. Da zu jeder Gruppe 1.2...L Variationen gehören (8. 24, 2),so giebt es den (1.2... L)ten Theil so viel Gruppen als VariationenLter Classe. Jeder Gruppe entspricht eine Combination Lter Classe.
Die in tz. 23 gebrauchte Formel ^ ist als Anzahl von Combina-tionen eine ganze Zahl. Weil
/ nz 1.2... n / » ^
VL/— 1.2...L.1.2...(n—L) —'Vn -L/'so giebt es von » Elementen eben soviel Combinationen Lter als (n — L)terClasse.
3. Man findet die Variationen 2ter Classe, indem man zu jedemElement der Reihe nach jedes andere setzt; 3ter Classe, indem man zujedem Element die Variationen 2ter Classe der übrigen Elemente setzt;4ter Classe, indem man zu jedem Element die Variationen 3ter Classeder übrigen Elemente setzt, u. s. w.
Für 5 Elemente:
1 21 31 41 5
1 2 41 2 3
1 5 4
2 1
3 1
4 1
5
1
2 3
3 2
4 2
5
2
2 4
3 4
4 3
5
3
2 5
3 5
4 5
5
4
2
1 3
3 1 2
4 1
2
5
1 2
2
1 4
3 1 4
4 1
3
5
1 3
2
5 4
3 5 4
4 5
3
5
4 3 u. s. f.
Man findet die Combinationen 2ter Classe, indem man zu jedemElement der Reihe nach jedes höhere setzt; 3ter Classe, indem man zujedem Element die Combinationen 2ter Classe aus den höhern Elemen-