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Allgemeine Arithmetik,
mern gebildet ist. Alle andern Glieder von Ä' kommen in ebenfallsmit den entgegengesetzten Zeichen vor, weil sie aus dem Anfangsgliedvon L durch eine gerade oder ungerade Anzahl Vertauschungen vonNumern sich bilden lassen, wenn sie aus dem Anfangsgliede von 4k'durch eine ungerade oder gerade Anzahl Vertauschungen gebildet waren.Daher ist L' ----- — 4t.
Sind die vertauschten Reihen einander gleich, so ist4t —— —0
für beliebige Werthe der Elemente.
Z- B.
a, S,!
ö.) 6^
c, a,
^2
— --
«2 «2 ^2 n
Kj e,
-----
^2 ^2
^3 ^3 ^3
«3 6z 0^
«g ög
äg 0g ü!g
«i
a
«2
s
ii
S
r-2
6
«1
c
«2
L/
^2
Ä Wenn r und L beliebige Numern der Reihe 1, 2, .., n be-deuten, und a,^ ein beliebiges Element des Systems ist, dessen Deter-minante den Werth 4t hat; wenn den Coefficienten von in
der Determinante, d. h. das Aggregat der Glieder der Deter-
minante bedeutet, welche das Element enthalten, so hat jede derSummen
«II «K1 «12 «K2 ^ ^ «In «K--
«11 «1k «21 «2K ^ «°1 «°k
den Werth 4t oder 0, je nachdem r und L gleich sind oder ungleich.
Beweis, In jedem Glied der Determinante kommt ein Elementder Lten Zeile des Systems vor, oder oder «^ , ... NachVoraussetzung ist aber das Aggregat der Glieder der Deter-
minante, welche das Element , enthalten, u. s. w. Daher umfaßtdie Summe
«K1 «K1 ^ «K2 «K2 ^ ^ «K-- «k°
alle Glieder der Determinante und hat den Werth 4t. Ebenso fin-det man
»II- «ik ^ «2K «2K ^ "^«->k «nk-
Setzt man in diesen Summen die Elemente der Lten Zeile oder Co-lonne den Elementen der r'ten Zeile oder Colonne der Reihe nach gleich,so bleiben die Coefficienten die Coefficienten
» 2 ,,, - . unverändert, und man erhält die Determinanten von Syste-men, worin zwei parallele Reihen einander gleich sind, und welche denWerth 0 haben (3).