tz. 27. Produete und Potenzen von Polynomen.

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1 . 2 .

a« S^oX

1.2...«.1.2...jZ.1.2..)'...

dadurch hervorgehen, daß «, j3, . auf alle mögliche Arten gleiche

oder ungleiche Werthe von 0 bis n erhalten, deren Summe jedesmaln beträgt*).

Beweis. Aus der Reihe der n Polynomien a-j-L-j----j-..wähle man «, um aus ihren ersten Gliedern «« zu bilden. Aus denübrigen n — « Polynomien wähle man A um aus ihren zweiten Glie-dern SF zu bilden. Aus den übrigen n — «— /Z Polynomien wähleman x, um aus ihren dritten Gliedern c-x zu bilden, u. s. f. .Wennman das Product a"S^ex . . auf alle mögliche Arten gebildet hat, sohat man alle Glieder der gesuchten Potenz.

/-r—

Man kann aber a« auf verschiedene Arten bilden, weil es so-viel Combinationen «ter Classe der n Polynomien giebt. Man kanndann ebenso S/? auf "^verschiedene Arten, dann ex aus ^ ^

verschiedene Arten, u. s. w. bilden. Man kann folglich ^ auf

^ ^ verschiedene Arten, a«S^ex auf ^ ver-

schiedene Arten, u. s. w. bilden. Daher erhält das Glied a« ^ o- ..den Coefficienten

—cr>, / n—«—1.2... 7!

^ X x 1.2...«.1.2...^.1.2...7...

d. i. die Anzahl der Permutationen von n Elementen, deren « denWerth a, jZ den Werth S, 7 den Werth «, .. haben (ß. 25, 4).

Beispiel. Wenn n —4, so sind folgende Combinationen derExponenten möglich:

4 3 1 2 11 1111

2 2

Man bilde nun die Combinationen Iter bis 4ter Classe der Ele-mente a, b, e, . . und nehme die Elemente

in jeder Combination Iter Classe mit dem Exponenten 4;in jeder Combination 2 ter Classe der Reihe nach mit den Exponenten3, 1 1, 3 2, 2;

*) Leibniz an Joh. Bernoulli 1695 Mai /3 p. 832.

Vergl. Klügel Math. W.

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