ß. 32. Die Birwmialreihe und die Logarithmenreihe.

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Nun ist («g — -st — « 2 ) -j-^ »o ^

also convergiren die unendlichen Reihen

(Kg — «j)ev 8 go -st — «2)0082^0 -st («2 — «2)0083^ -st - . ,

(«g — a^) 8 illP -st (a, — «2)81112^ -st («2 — az) 8 in 3 y> -st - ,

folglich convergirt auch die Reihe

(«o - - -st («i — «2 )a -2 -st («2 — ag)L^ -st - -

gegen eine Grenze, die durch r' bezeichnet wird. Das Glied

— «^sooss-r-st 1)P-st rsin(-r -st 1)P^

verschwindet bei unendlichem n nach der Voraussetzung, also hat die ge-gebene unendliche Reihe einen endlichen Werth L' von der Art daß

a,

(1 — a-)S ttg — r',

§. 32. Die Binomialreihe und die Log-arithmenreihe.

I. Die Reihe 1 -st -s- ( 2 )^ -st- -ist endlich und hat den

Werth (1 -st ^)>-, wenn -r eine positive ganze reale Zahl bedeutet (tz.23). Bei andern Werthen von a- kann die Reihe ohne Ende fortgesetztwerden, und die unendliche Reihe convergirt, wenn der Modul .von /rein echter Bruch ist *).

und «. Nach Z. 23 hat man

«

ib -st 1

folglich (ß. 31, 9)

« mod

L -st 1

Bei hinreichend großem L ist der Modul dieses Bruches von 1 nichtmerklich verschieden. Also ist « < 1 die Bedingung, unter welcher dieReihe der Moduln 1 -st -st -st - > convergirt (H. 31, 1). Un-ter derselben Bedingung convergirt auch die gegebene unendliche Reihe(8- 31, 11).

) Abel Lrelle's I. 1 p. 311 ff.