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Allgemeine Arithmetik.

An der Grenze — 1 ist die Convergenz der gegebenen Reihevon L abhängig. Vergl. Abel a. a. O. Heine Crelle's I. 55 p. 279.

2 . Wenn die unendliche Reihe (Binomialreihe)

convergirt, so wird ihr Werth durch (1 -s- E ausgedrückt*).

Beweis. Bezeichnet man den Werth der unendlichen Reihe durchy>0), so findet man durch Multiplication

y>(L)y>(r/)---1 Z--j- ^ ''

/- -P

^ P(L -s- z/)

wegen der Z. 25, 5 und Algebra ß. 10, 5 bewiesenen Eigenschaft der Bi-nomialcoefficienten. Zufolge der Identität a>(w)y>(r/) <x(w -s- ,,) kann<p!» — gesetzt werden, wenn a einen geeigneten Werth erhält (tz.31, 2). Um denselben zu finden, setze man -r — 1. Dann verschwin-

. , und man behält

P(1) — — 1 fi- H, P(-r) — — (1 Z- H)2.

Wenn L nicht positiv ganz real ist, so ist (1 -s- ä)-- mehrdeutig, und eswird ein bestimmter Werth der Potenz durch die Reihe ausgedrückt.Damit die Reihe alle Werthe der Potenz ausdrücke, kann ihr der Fak-tor 1 * beigegeben werden. Vergl. Z. 31, 10.

3 . Die Binomialreihe dient zur Berechnung der Wurzeln von 1->-H,wenn der Modul von ein echter Bruch und w ein realer Bruch ist.

*) Das allgemeine Binomialtheorem, eine der ersten und größten EntdeckungenNewton's (Brief für Leibniz 1676 Juri. 13). Vergl. Euler Uov. 6omw. ?e-trox. 19 p. 103 sowie an den §. 23 citirten Stellen, und Abel a. a. O. DieKürzung des Beweises durch Beziehung auf die Exponentialreihe rührt von Scheib-ner her.