ß, 3. Die analytische Methode.

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Beispiel 1. Das Dreieck zu construiren, in welchem ein Win-kel, die gegenüberliegende Seite und die Summe der anliegenden Seitenvon gegebener Größe sind.

Analysis. Das gesuchte Dreieck sei AS(7, der gegebene Winkel

7 und die gegebene Seite <7A.Wenn man auf der Verlänge-rung von AS die Strecke S7)— S<7 macht, so ist A7) — AS-st S<7 die gegebene Summe,und der Winkel 67)A die Hälftedes gegebenen Winkels S, weil das Dreieck 77(77 gleichschenkelig ist.Da nun in dem Hülfsdreieck A7)(7 der Winkeln, die gegenüberliegendeSeite (7A, und die anliegende Seite A7> gegeben ist, so läßt sich dasHülfsdreieck und daraus das gesuchte Dreieck construiren.

Construction. Mache 77 gleich der gegebenen Summe, (777gleich dem gegebenen Winkel, und vollende den Rhombus 77(777, so

daß der Winkel 7777— ^ (777 wird. Be-schreibe um 7 mit dergegebenen Seite denKreis, der die Diago-nale 7'// im Allgemei-nen in.7 undtrifft.Ziehe .777 (.7'7st pa-rallel mit 7'(7, so ist7777 (7/'77st das ge-V suchte Dreieck.

Beweis. DerWin-

kel .7777-7 ist dem Winkel 777"77, also auch dem gegebenen Winkel gleich,weil .777 und 7(7 parallel sind. Ferner ist 77.7 777", weil 7777 —

777.7 ^ 7777, folglich 777 -st 777 ^ 77 — der gegebenen Summe.Endlich ist 77--^ der gegebenen Seite. Ebenso beweist man, daß 777den Forderungen der Aufgabe genügt.

Determination. Die Aufgabe ist lösbar, wenn die Diagonale777 von dem Kreise um 7 getroffen wird. Dieß ist der Fall, wenndie gegebene Seite nicht kleiner ist, als die Normale aus 7 zu 777,d. h. nicht kleiner als die Hälfte der andern Diagonale 7(7.

Die beiden Auflösungen der Aufgabe sind nicht wesentlich verschie-den. Denn im Rhombus 77(777 ist 77.7 ^ 7777', also der Winkel77.7 --- .777/ --- 777'. Nun haben die Dreiecke 7777 und 7.7'77'