tz. 6. Die quadratischen Gleichungen.

233

folgt. Die Quadratwurzel ist zweideutig, und zwar real oder imagi-när, je nachdem der Radicandus positiv oder negativ ist (Allg. Arithm.Z. 16, 6 ). Also hat die quadratische Gleichung -s- Sn -s- o — 0zwei Wurzeln, welche

real verschieden sind, wenn — 4ao positiv,

real gleich - - - - Null,

complex conjugirt - - - - negativ,

unter der Voraussetzung, daß «, ö, o reale Zahlen bedeuten.

Die Formel — 4ac, deren Werth hierbei entscheidend ist, heißtbei den Neuern die Discriminan te (Determinante) der betrachtetenquadratischen Gleichung. Wenn a und 0 entgegengesetzt sind, so ist4aonegativ, — 4ae positiv, also auch — 4ac positiv, folglich hat dieGleichung reale verschiedene Wurzeln.

Indem man mit -- S — — 4 ^ den Zähler und den Nen-

ner der obigen Wurzel multiplicirt, findet man

— b -s-- ^ K2 — 4«e_ (ö ^ 4 ao)___- 2o_

2a 2a(— L — .— 4ae) L -j- ^—4ao

Wenn NUN 4 ae : L? sehr klein ist, so ist ^ 4^0 wenig von4b s verschieden, und die eine Wurzel der Gleichung liegt nahe bei

— 0 : S, die andre nahe bei — S: a. Wenn a verschwindet, so hateine Wurzel den Werth — e : S, die andre ist unendlich groß( 8 . 4, 4).

Bemerkenswerth ist die Summe und das Product der Wurzelnder quadratischen Gleichung:

— S -j-

2a

— S

— 4ao K

2a a '

— i -j- ^-2 — 4 ae — ö — — 4 ae e

2a 2a a

Man kann also die Summe, das Product und die Zeichen der Wur-zeln einer quadratischen Gleichung ohne Auflösung der Gleichung an-geben.

3 . Es giebt 2 Werthe von a-, bei welchen die quadratischeFunction a-r 2 Z- Sn -j- o verschwindet, die Wurzeln der Gleichungan? -j- Sn 0 — 0 , Bezeichnet man diese Wurzeln durch « und Aso ist die quadratische Function as^ -j- -s- e bei beliebigen Wer-

then der Variablen n durch (« — a)(n — ss) theilbar, mithin iden-tisch

aa:2 -s- -s- 6 — a (n — «) (n — / 3 ).