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Algebra.

»ten Grades ist, und die Funktionen /(-», und U) einen gemein-schaftlichen Divisor 2(-r-, U) nicht unbedingt besitzen, so hat das Systemm?r Auflösungen. Unter diesen Auflösungen können mehrere überein-stimmen, einzelne auch unendliche Werthe der Unbekannten erfordern.Vergl. des Vers. Schrift über Determinanten tz. 11.

In besondern Fällen genügt es, unter der Voraussetzung m >- »die mit einem geeigneten Multiplikator 1. gebildete Gleichung mten Gra-des /(«, U) -s- 1 U) — 0 an die Stelle der Gleichung /(ae, U) — 0zu setzen. Dabei gehn Auflösungen verloren, wenn die abgeleiteteGleichung /», ?,) -s- -lA(-v, ^) 0 vom (,» — ^)ten Grade ist. Die-sen Verlust verhütet man*), indem man zuvor ^ ^ an die Stelle

von -r, U setzt, also die homogenen Funktionen 2^, k), //, k) an

die Stelle der ihnen untergeordneten nicht homogenen Funktionen /(n, B,Vergl. Z. 2, 10.

Wenn <2, 2k, ä' gegebene Funktionen der Unbekannten sind, sowird dem System

2^<2 --- 0, 2kK --- 0

durch die Systeme

--- 0 ! 2 - ^ 0 <2 ^ 0 ! <2 ----- 02k -- 0 j ä' — 0 2k — 0 j S 0vollständig genügt, weil ein Produkt nur dann verschwindet, wenn einFaktor den Werth 0 hat. Wenn 2k — 2>, so wird dem gegebenen Sy-stem auch durch die Gleichung 2^ — 0 genügt.

Wenn 2^ und 6 homogene Funktionen von denselben Dimensionensind, so bildet man aus dem System <2 — b die Gleichung

L2> — «<2 — 0 zur Berechnung des Verhältnisses der Unbekannten.

In manchen Fällen wird die Auflösung des Systems erleichtert,wenn man die Summe, die Differenz, das Produkt oder andere Funk-tionen der Unbekannten als neue Unbekannte substituirt.

Beispiel 1. Das System

- 1) - 2-^2 — 1) -s- ^ - 2^- i ^ 0

— 3U -s- 2) — ^ — 3;? ff- 7?,2 -s- 15;/ — 18 -- 0

ist gleichbedeutend mit dem System

(r, — 1)(r/ -si 1)(^ ^ 1)(n ^ l/ ^ 1) ---- 0

(-/ — 1)(z/ — 2)(^ -fl ^ -si 3)(a- — U — 3) — 0,

und untergeordnet dem homogenen System

(U — k)(?/ -s- k)(-r — U -I- k)(-r — U — r) ^ 0(?/ — r)(?/ — 2k)(« -j- U 3t)k> — ^ — 3k) — 0,

") Nach Kronecker's Angabe. Vergl. Minding's Untersuchungen über dieAnzahl der endlichen Auflösungen. Crelle I. 22 x. 178 und 27 p. 379.