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Algebra,
den realen Werth — a haben würde. Folglich bleiben für r -si u dreiWerthe
«7 -f- «2g, ^ ^ 's- s) > r . — g)^Z
ch- «7 ^ — z(x -si 7) — i . ^(7, — 7 )-/3
als Wurzeln der gegebenen cubischen Gleichung*).
4. Wenn «2 z 2 positiv ist, so hat die cubische Gleichung einereale und zwei conjugirt complexe Wurzeln. Ueber die Rationalitätderselben kann nur durch directe Versuche entschieden werden.
Wenn «3 -1- z>2 Mtl ist, so hat die Gleichung drei reale Wurzeln,von denen 2 einander gleich sind, 27,, — 7-, 71, weil 7—71.
Wenn «3 .p. -2 negativ ist, so hat die Gleichung 3 verschiedenereale Wurzeln, welche in den obigen Formeln als Summen der Cubik-wurzeln von conjugirt complexen Zahlen erscheinen. Daß in diesemFalle (oaslls irrsäuetibilis) die cubische Gleichung reale Wurzeln hat,erkennt man aus den Werthen, welche die der Null gleichgesetzte cubi-sche Function von w bei realen Werthen von w annimmt*). Weil derCoefsicient von w negativ sein muß, so betrachte man die cubische Func-tion
/(och — — 3 «n -si 2ä
unter der Voraussetzung, daß a, S positiv sind und -< ach Durchdie Substitution w — 7^a geht /(w) in 7(7) . a über, so daß
7(7) ^ — 3^ -ch. 2 c, c — < 1 .
Nun ist 7(2) positiv, 7(1) negativ, 7(0) positiv, 7(— 1) positiv, 7(— 2 )negativ, und überhaupt 7(7) bei endlichen realen Werthen von 7 endlichreal. Also muß 9(7) Null werden, während 7 von 2 auf 1, von 1 auf0, von — 1 auf — 2 fällt, d. h. die Gleichung 7(7) —0 hat 3 realeWurzeln. Folglich hat die Gleichung /» — 0 ebenfalls 3 reale Wur-zeln.
Die Wurzeln der Gleichung — 3a^ — 2 L ---- 0 sind denWurzeln der Gleichung — -j- 3^ — 2S — st entgegengesetzt gleich.Die Wurzeln dieser Gleichung sind aber von den Wurzeln der Glei-
ch Die Formel für die reale Wurzel der cubischen Gleichung ist von ScipioneFerreo 1505, bald darauf auch von Tartaglia erfunden, und von Cardano1545 (Xrs inuAuu 0 . XI.) nebst dem Beweis mitgetheilt worden, weshalb sie denNamen „Cardanische Formel" führt. Vergl. Klügel Math. W, I x. 34.
1 **) Stainville Lorresx. 8. I'Le. xslx!. 3 x. 58. Nelnn^ss ä'nnsl.