ß, 7. Die cubischen und biquadratischen Gleichungen.

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chung — 3«w 2S ----- 0 nicht verschieden. Also hat die Gleichungu? — 3a-r — 2S — 0 ebenfalls 3 reale Wurzeln.

Daß eine cubische Gleichung nicht mehr als 3 Wurzeln haben kann,wird wie tz. 6, 3 bewiesen.

3. Die realen Wurzeln der Gleichung a? — 3a«! — 2S — 0,wenn S 2 «s, werden goniometrisch berechnet*). Man hatcos 3 y> — V08 2 P 008P — SIN 2 y> siv y)

— (2v08P2 — 1)e08P - 2(1 - 008P^)o08<p

— 4v08P^ - 3v08y>,

daher bei beliebigen Werthen von P

en8<pb — ^eosgo — sseo8 3<p — 0,

und unter den Voraussetzungen -» — 5-008 P, c» — 3go,

— ^/-^oo8A — 0.

Diese Gleichung stimmt mit der aufzulösenden Gleichung überein, wenn

^5-2 — ^^ev8M - - 2b,

!

i

5- — 2^K, 008 w

P -- H(a> -s- L. 360 0).

Also hat die gegebene Gleichung die Wurzeln

5-L08^w, 5-v08(^w -s- 120"), 5-008(^w -s- 240"),wobei »- eine positive Zahl und -o einen spitzen Winkel bedeutet.

Anmerkung. Die Cardanische Formel erfordert in diesem Falledie Cubikwurzeln der conjugirten Complexen

K — -2 — ö — — z>2 —

wobei t^>2 — YV 08 W ----- b sich ergiebt (Allg. Arithm. K. 31, 10).Die Summe der Cubikwurzeln beträgt

. z(«ch-2L77) ^ ^ 2y'ov8^(w Z- 2bw)

übereinstimmend mit den gefundenen Werthen.

Wenn a positiv ist, so hat die trinomische Gleichung

— w — a ---- 0

eine positive Wurzel zwischen 1 und 1 -si a, welche unter den realen

') Die Trisection des Winkels a> ist auf die Auflösung einer cubischen Gleichungvon Bombelli reducirt worden. Das umgekehrte Verfahren kommt bei Vieta,und in constructiver Darstellung bei Descartes (Olsom. III) vor. Vergl. K lügelmath. W. I x. 38. 44. 53.