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Algebra.

Kette von Gleichungen

aw — o Z- br/ L — sz,

«i l, — e -s- a^> Z, — e,p-s- ?

«25» ^ e ->- ^ ^ «2?^ ^

beruht auf der Kette von Gleichungen,

H — as -s-

er 6^ ^

— «262 «z

durch welche der Bruch « : s in einen Kettenbruch so entwickelt wird,daß die Zähler der Glieder positive oder negative Einheiten sind. Istnun z. B. «g eine Einheit, so kann man 7- — 0 wählen und erhältdie besondern Werthe 4', /, /, w' für w von der Art, daß

-p ^ Z, s )l

/ ^ « 2 '

111

-Z-

Daher ist der letzte Näherungsbruch — für den Kettenbruch

S

1,11.1

—

6 ' 6 z 62 «2

ein besonderer Werth von - . In der That hat man unter dieser Vor-aussetznng (Allg. Arithm. Z. 30 , 4 )

«st — -j- — x, ^

« . rost — ö. rol — e.

Also genügen der gegebenen Gleichung die Werthe*)

5c — xez« -s- br, z/ — kd -j- «L.

Wenn -- Prim zu b, und wenn es ^ Zahlen giebt, welche kleiner als l> und

*) Die Auflösung der Gleichung d 5^ --- c in ganzen Zahlen, die elemen-tarste unter den Diophantischen Aufgaben, ist in den übrig gebliebenen SchriftenDiophants nicht anzutreffen, sondern im Occident zuerst von Bathet (xrodlsmssxluisuns 1624) gegeben worden. Mit Bathet's Auflösung fällt in der HauptsacheEuler's Auflösung zusammen (Oorum. ksbrox. 7 x, 46), welche oben (3) mitge-theilt ist und die Vorzüge der Einfachheit und Kürze in sich vereint. Die Darstellungder Auflösung durch Kettenbrüche (4) hat Lag ränge (Nein. äs Rsrlln 1767 x.175) gelehrt. Vergl. die franz. Ausgabe von Euler's Algebra, Lyon 1795, undGauß Oisg. uritbm. 27 ff. Die Anwendung des Fermat'schcn Satzes ist vonBinet erdacht (1. äe l'sools poh4. 6uk. 29 x. 289).