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Algebra.

x O — « 2 ) . . <> — 0 ^) Heilbar, und der Quotient ist der höchsteCoefficient der Funktion /(-c).

Beweis. Die Differenz /») — /(^), deren Subtrahendusnach der Voraussetzung verschwindet, ist durch ^ Heilbar (1).

Bezeichnet man den Quotienten durch/H^), so hat man/(n) ^ o —

Bei « — «2 verschwindet /(--), also auch ^ d. i.undman hat /Ha?) — folglich

/(«) -- (a: — «,)» — c-2)/2(-r)

u. s. w. Wenn man endlich

/!» ^

i)(a- « 2 ) - - ^

gefunden hat, so folgt aus der Identität

-j- . . Sg — (.-r — «^x« — «2) . . («

- 0

daß (7 von nicht verschieden ist (K. 4, 1).

Anmerkung. Wenn die Koefficienten a^, - - real, und

die Größen t, u conjugirt complex sind, so sind auch die Werthe /(«)und /(«) conjugirt complex. Wenn nun /(k) verschwindet, so verschwin-det auch/(«), und die Norm von a- — r (Allg. Arithm. Z. 16, 7) istein Divisor zweiten Grades von /(ach

3. Wenn die Function nten Grades /ich) die n Divisoren erstenGrades -c — ^ — «„ hat, so kann sie nicht bei einem von

", , «2 , . . , verschiedenen Werth « von -r verschwinden, also auchnicht einen andern Divisor ersten Grades « — « haben. Denn dasProduct — «^) . . (« — «„) verschwindet nur dann, wenn einerseiner Faktoren verschwindet. Man kann aber wie oben (2)

/(§) -- «o(1 -j- ^)(i -x -.(Ist-

setzen, wobei A,.., den Reciproken der Größen « 2 ,..,«^ derReihe nack entgegengesetzt gleich sind.

Wenn die Größen « 2 , . . , nicht alle voneinander verschie-den sind, und man z. B.

Z(n) — 0-2X . . . . (a, —

gefunden hat, so kann nicht auch

/(L) — «2)" . . (L — ->-^) . . (a- — o-^)

sein, so daß (>-</-, 0 x> « wäre; sonst würde

(a: — -0-2)' . > .