ß. 1». Lehrsätze von den algebraischen Fnnctivnen.

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Nachdem ein Werth ^ von n gefunden ist, so daß /(«,) verschwin-det, bildet man /O) — (-r — «,)/,(«-) und sucht einen Werth von a-,bei welchem /^(-r) verschwindet, u. s. w. (2).

I«. Wenn « 2 , «n die Wurzeln der Gleichung/(-e) — 9sind, so kann dem System

/(re -j- ri) — 0, /(rr — r>) — 9nur durch die Werthe genügt werden

rr --j- v — c^, u — r> — o^,

mithin durch die Werthe

2u ^ ->-r -i- 2o .

Dieselben Werthe genügen auch dem System

/(rr -j- r>) /(rr -- r>) 9, /(rr -j- v) — /(« — r>) — 0.

Setzt man die Summe /o r,) ff- /(u — r>) — 2^, und die durch

« theilbare Differenz /(r« -s- v) — /(-r — r>) 2o<2, so genügen die

angegebenen Werthe den beiden Systemen (tz. 6, 7)

! 9 und ^ ^ o !

Dem ersten System wird dadurch genügt, daß man für » die Werthesetzt. Dem andern System wird dadurch genügt, daßman für « die halbe Summe, für o die halbe Differenz eines jedenPaares der Wurzeln , . . , setzt.

Wenn man daher durch Auflösung des Systems 7^ — 9, <2 — 9diejenigen realen Werthe von u berechnet, zu welchen imaginäre Werthevon v gehören, so findet man alle complexen Wurzeln u „ der gege-benen Gleichung /(«) — 9.

II. Wenn bei steigendem realen a- die Function /(-») steigt oderfällt, so hat die Differenz /(n -j- r«) — /(n, mit der Differenz « das-selbe oder das entgegengesetzte Zeichen, und der Quotient der Differen-zen ist positiv oder negativ, auch bei verschwindendem Wenn daherinnerhalb gegebener Grenzen für n

liw ^ ^ ^ /(-r)

--- 9

positiv (negativ) ist, so ist die Function /<» im Steigen (Fallen) be-griffen, während a- innerhalb der gegebenen Grenzen steigt. Gesetzt,/(-r) bleibt endlich und wechselt das Zeichen, während /'(-c) endlicheWerthe von einerlei Zeichen hat, so schließt man, daß die Gleichung/(-o) — 0 eine und nicht mehr als eine reale Wurzel zwischen den Gren-zen a und ö hat.