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Algebra

Die entscheidende Function /'(«) heißt der Differentialquo-tient (nach Leibniz, Fluxion nach Newton, Derivation nach La-gränze) der gegebenen Function/(-r). Es sei z. B. /(-r) — undL eine ganze positive Zahl, so hat man (1)

(-0-1- — a/ , , ,

/ (-x) — Iiw a--!---— rr — 0.

rL ^

Für /l» — -j- -j- . . Z- -r^-r -j- So findet man

ebenso

/'(-r) — -s- (» — 1)a^,^"'2 -s- . . -s- 2«2-r -s- .

Der Differentialquotient von /'(-r) heißt der 2te Differentialquotientvon /(-r) und wird durch /"(-») bezeichnet, so daß

/"(-r) ---- »(rr — 1)cr^-l-2 -s- (-r — 1)(?r — 2)K^a-n-S -s- . . 2ük2

durch 2 theilbar ist, u. s. w. Der (n — 1)le Differentialquotient einerFunction mten Grades ist eine Function Iten Grades.

Ein Werth von -r, bei welchem die ganze Function /(->-) und alleihre Differentialquotienten positiv ausfallen, ist eine obere Grenzefür die realen. Wurzeln der Gleichung /(-») -- 0 (Newton ^ritllm.univ. p. 194 sll. I-ugä.) Z. B.

/(-e) -- — 2-e^ — 10-vb -s- 30-e2 -s- 63-o — 120

/'(-r) ----- — 8--/ — 30-^2 -s- 60->- Z- 63

4/"0) ---- 10-r» — 12a/ — 30-r -s- 30

, -- 10-v2 — 8a- — 10

^-^/(»)(«!) — 5-v — 2

Bei a — 1 ist zwar //) positiv, aber nicht Bei a- — 2 sind/l-o , /<s) ,/",/',/ positiv; also sind /(») ,/",/',/ im Stei-gen begriffen, während a- von 2 an steigt; mithin hat die Gleichung//) — 0 über der Grenze 2 keine reale Wurzel. Eine untereGrenze für die realen Wurzeln derGleichung /</) —0. ist einer oberenGrenze für die realen Wurzeln der Gleichung (— 1)/(— 0

entgegengesetzt gleich. Von den Functionen

a/ _j_ 2a/ — 10a-s — 30--2 Z- 63a- Z- 1205a-^ Z- 8-I7S — 30a-2 — 60a: -s- 6310-»s -j- 12a/ — 30a- — 3010a/ -s- 8a- — 305a- -s- 2

sind bei --- --- 1 die 2 letzten, bei -r ---- 2 die 3 letzten, bei a- ---- 3 allepositiv; also ist — 3 eine untere Grenze für die realen Wurzeln derGleichung /(---) — 0.