ß. 10. Lehrsätze von den algebraischen Functionen.

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12 . Wenn die ganze Function /lw) und ihr Differentialquotient/Xw) einen gemeinschaftlichen Divisor ersten oder höhern Grades haben,so sind die Divisoren ersten Grades von /(«) nicht alle von einanderverschieden, es giebt einfache und mehrfache Wurzeln der Gleichung/(w) — 0*), und die Function /(w) ist theilbar durch . . ,

wobei , ?/2 , Fz , - - bestimmte ganze Functionen von w bedeuten,deren Coefficienten rational sind, und deren jede mit ihrem Differential-quotienten einen gemeinschaftlichen Divisor nicht hat.

Beweis. Aus dem Werth/(w) — — «,) . . <> —

folgt

L-s-u—

/(a-) " w—

n-s-r« — «n

27 «n

1 ^

27-Uz

n X

27—«n/

und nachdem man auf beiden Seiten 1 subtrahirt und durch u dividirthat,

/(n) ^ /(n ^ ») — /(^)

/(-r)

u/(-r)

«n

Wenn nun A(-v) der größte gemeinschaftliche Divisor von /(w) und /'(w)ist, so erhält man durch Multiplication der gebrochenen Function mitdem Quotienten /(w) : g-(w) eine ganze Funclion, daher können dieNenner w — w -- 0-2 , . . nicht alle von einander verschieden sein.Z. B. unter der Voraussetzung

/sn) — — «z)" ..

haben z Nenner den Werth w — « 1 , u. s. w. Also ist

^ ^ ^_ks__^ . .

/(w) w - L - «2 ' M — ttg

---- . .

/(w) : S(-r) — O — — v-zX-r — v-g) . . .

Der Quotient /(w) : A(-v) ist die ganze Function mit rationalen Coef-ficienten, welche alle 1- und mehrfachen Divisoren ersten Grades von/sah einfach enthält. Ebenso bildet man aus §<w), wenn üsw) der größtegemeinschaftliche Divisor von A») und /(w) ist, die ganze FunctionA(-r) : H(w), welche alle 2- und mehrfachen Divisoren ersten Grades von

') Die Theorie der mehrfachen Wurzeln einer Gleichung ist vor der Erfindungder Differentialrechnung von Hudd e 1657 begründet worden. Lxmd. I, rsx. 10 inSckooten's Ausgabe von Descartes' Geometrie.