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Algebra.

/(-») einfach enthält; u. s. w. Durch Division findet man endlich dieganzen Functionen mit rationalen Coefstcienten

/(^) : A(a-)

§ 0 ) :

, u. s. w.

13. Bei einer gegebenen Reihe von positiven und negativen Zah-len bestimme man die Zeichen der Quotienten jeder folgenden Zahldurch die zunächst vorhergehende. Wenn unter diesen Quotienten r> ne-gative sich befinden, so sagt man, die gegebene Reihe hat r> Wechsel(varistions). Der ganzen Function /(w) schreibt man ebensoviel Wech-sel zu, als die Reihe ihrer Coefficienten hat.

I. Wenn « eine positive Zahl ist, so hat die ganze FunctionO — °-)/(-r) eine ungerade Anzahl mehr Wechsel als /(-r). Dagegenhat (n -j- --)/0) ebensoviel oder eine gerade Anzahl weniger Wechselals /(-r).

Beweis. In/(«) trete der erste Wechsel bei dem Coefficienten«p ein, der zweite bei a^, der letzte bei wobei . .eine fallendeReihe bilden. Dann haben in dem Product (-r — «)/») die Coefft-cienten von der Reihe nach einerlei Zeichen mit

"p ' «4 , «t- Also zeigen sich in (a — «)/») bis zu dem Coefficien-ten von wenigstens 1 Wechsel, bis zu dem Coefficienten vonwenigstens 2, und bis zu dem Coefficienten von wenigstens eben-soviel Wechsel als /O) hat. Nach der Voraussetzung ist mit ^ voneinerlei Zeichen, folglich giebt es in (a- — «)/(«-) bis zu dem Schluß-glied — ««o wenigstens einen Wechsel mehr als deren /O) hat.

Ebenso erkennt man, daß in (w -I- a)/0) bis zu» dem Coefficien-ten von höchstens 1 Wechsel, bis zu dem Coefficienten vonhöchstens 2, und bis zu dem Coefficienten von höchstens ebensovielWechsel stattfinden, als deren /(m) hat. Und nur in dem Falle, daßbei dem Coefficienten von xjr, Wechsel nicht stattgefunden hat, trittbis zu dem Schlußglied noch ein Wechsel ein.

In (a- — «)/(«) , /(ah , -f- «)/(«:) gebe es der Reihe nach

u , v , w Wechsel. Wenn und o-g einerlei Zeichen haben, so sind

v und w gerade, « ungerade; wenn und «g verschiedene Zeichenhaben, so sind r> und w ungerade, » gerade. Daher ist immer u — vungerade, v — w gerade.

II. Descartes' Regel*). Die Gleichung /(«) — 0 hat höch-

*) Diese Regel ist von Descartes (Usoin. III) zuerst, jedoch nicht hinreichendgenau aufgestellt worden. Sie heißt auch Harriot'sche Regel, obgleich sie in Har-riot's Nachlaß vergeblich gesucht worden ist (Kliigel Math. W. I p. SO ff. II p.435). Die Berichtigung und den Beweis verdankt man Gauß (Crelle'sJ. 3 x. 1).Vergl. 6sto<inet st Nn^sr niedre 392 fs.